\mathbf{0 1}(\mathbf{2 , 0}) - Considere uma onda EM com frequência de 7 GHz num guia de ondas retangular tem dimensões 2,5 \times 4 \mathrm{~cm} preenchido com ar.
a) Calcular as frequências de corte e as impedâncias características para os modos \mathrm{TE}_{10} e \mathrm{TE}_{11}.
b) Calcular também os respectivos ângulos de propagação, e as velocidades de grupo correspondentes (para ambos os modos) em dita frequência.

Passo 1

O enunciado pede para um guia de ondas retangular de dimensões a=4\,\text{cm} e b=2{,}5\,\text{cm} (preenchido com ar) calcular:
  • as frequências de corte f_{c} e as impedâncias características \eta para os modos \mathrm{TE}_{10} e \mathrm{TE}_{11};
  • em seguida, para frequência de operação f=7\,\text{GHz}, calcular os ângulos de propagação e as velocidades de grupo.
Conteúdo usado: fórmula de frequência de corte em guia retangular, impedância característica de modo TE, relações de número de onda e velocidades em guia de ondas.

Passo 2

A frequência de corte de um modo \mathrm{TE}_{mn} num guia retangular é dada por
f_{c,mn} \;=\; \frac{c}{2}\,\sqrt{\bigl(\tfrac{m}{a}\bigr)^{2} + \bigl(\tfrac{n}{b}\bigr)^{2}}
onde c=3\times10^{8}\,\mathrm{m/s}, a e b são as larguras interna do guia, e (m,n) são índices do modo.

Passo 3

Aplicando em \mathrm{TE}_{10} m=1,n=0 e \mathrm{TE}_{11} m=1,n=1:
f_{c,10} = \frac{3\times10^{8}}{2}\,\frac{1}{0,04} = 3{,}75\,\text{GHz},
f_{c,11} = \frac{3\times10^{8}}{2}\,\sqrt{\bigl(\tfrac{1}{0,04}\bigr)^{2} + \bigl(\tfrac{1}{0,025}\bigr)^{2}} \approx 7{,}08\,\text{GHz}.

Passo 4

Para um modo TE que propaga (ou está evanescente), a impedância característica é
\eta_{mn} = \frac{\eta_{0}}{\sqrt{1 - \bigl(\tfrac{f_{c,mn}}{f}\bigr)^{2}}} \quad\text{com}\quad \eta_{0}=377\,\Omega.

Passo 5

Em f=7\,\text{GHz}:
  • Para \mathrm{TE}_{10}: f>f_{c,10}, logo
\eta_{10} = \frac{377}{\sqrt{1 - \bigl(\tfrac{3{,}75}{7}\bigr)^{2}}} \approx 446{,}5\,\Omega.
  • Para \mathrm{TE}_{11}: f<f_{c,11}, o termo dentro da raiz fica negativo, indicando modo evanescente. Coloca-se então
\eta_{11} = \frac{377}{\sqrt{\bigl(\tfrac{7{,}08}{7}\bigr)^{2}-1}} \,j \approx j\,2565\,\Omega,
ou seja, não há propagação real em \mathrm{TE}_{11}.

Passo 6

O ângulo de propagação \varphi (entre o vetor onda e o eixo z) satisfaz
\cos\varphi = \frac{\beta}{k_{0}} \quad\Longrightarrow\quad \varphi = \arcsin\!\Bigl(\frac{f_{c}}{f}\Bigr).
E a velocidade de grupo é
v_{g} = c\,\sqrt{1 - \bigl(\tfrac{f_{c}}{f}\bigr)^{2}}.

Passo 7

Para \mathrm{TE}_{10} em 7\,\text{GHz}:
\phi_{10} = \arcsin\!\Bigl(\tfrac{3{,}75}{7}\Bigr) \approx 32{,}4^\circ,
v_{g,10} = 3\times10^{8}\,\sqrt{1 - \bigl(\tfrac{3{,}75}{7}\bigr)^{2}} \approx 2{,}53\times10^{8}\,\mathrm{m/s}.
Para \mathrm{TE}_{11}, como f<f_{c,11}, \varphi fica imaginário e não existe velocidade de grupo real (modo evanescente).

Resposta

a) f_{c,10}=3{,}75\,\text{GHz},\quad \eta_{10}\approx446{,}5\,\Omega; f_{c,11}=7{,}08\,\text{GHz},\quad \eta_{11}\approx j\,2565\,\Omega.
b)
Para \mathrm{TE}_{10} em 7\,\text{GHz}: \phi_{10}\approx32{,}4^\circ,\quad v_{g,10}\approx2{,}53\times10^{8}\,\mathrm{m/s}.
Para \mathrm{TE}_{11} em 7\,\text{GHz}: modo evanescente (sem \varphi real nem v_{g} real).

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