1. Fluxo máximo Dentre todos os sólidos retangulares definidos pelas desigualdades 0 \leq x \leq a, 0 \leq y \leq b, 0 \leq z \leq 1, encontre aquele para o qual o fluxo exterior total de \mathbf{F}=\left(-x^{2}-4 x y\right) i -6 y z \mathbf{j}+12 z \mathbf{k} através dos seis lados seja maior. Qual é o maior fluxo?

Passo 1

O enunciado pede o sólido retangular definido por
0 \le x \le a,\quad 0 \le y \le b,\quad 0 \le z \le 1
em que devemos escolher a>0 e b>0 de modo a maximizar o fluxo total de
\mathbf{F} = \bigl(-x^{2}-4xy\bigr)\,\mathbf{i} \;-\;6yz\,\mathbf{j}\;+\;12z\,\mathbf{k}
através das seis faces. Vamos usar o Teorema da Divergência, que diz que esse fluxo é
\displaystyle \iiint_{\text{região}}(\nabla\cdot\mathbf{F})\,dVã.

Passo 2

Calcular a divergência de \mathbf{F}:
\nabla\cdot\mathbf{F} =\frac{\partial}{\partial x}(-x^2-4xy) +\frac{\partial}{\partial y}(-6yz) +\frac{\partial}{\partial z}(12z) =-2x-4y-6z+12.

Passo 3

Aplicar a integral tripla separada em z, depois y e x. Primeiro em z:
\int_{0}^{1}\bigl(-2x-4y-6z+12\bigr)\,dz =\bigl(-2x-4y+12\bigr)\cdot1 -6\cdot\frac{1^2}{2} =-2x-4y+9.

Passo 4

Agora integramos em y e x:
\Phi(a,b) =\int_{0}^{a}\!\int_{0}^{b}\bigl(-2x-4y+9\bigr)\,dy\,dx =\int_{0}^{a}\Bigl[b(-2x+9)-2b^2\Bigr]\,dx =-b\,a^2+(9b-2b^2)\,a.

Passo 5

Para maximizar \Phi(a,b) tomamos derivadas parciais nulas:
\frac{\partial\Phi}{\partial a}=-2b\,a+(9b-2b^2)=0 \quad\Longrightarrow\quad a+b=\frac{9}{2},
\frac{\partial\Phi}{\partial b}=-a^2+(9-4b)a=0 \quad\Longrightarrow\quad a=9-4b.
Resolvendo o sistema a+b=4{,}5 e a=9-4b obtém-se
b=1{,}5,\quad a=3.

Passo 6

Substituindo a=3 e b=1{,}5 em \Phi(a,b):
\Phi_{\max} =-1{,}5\cdot3^2+\bigl(9\cdot1{,}5-2\cdot1{,}5^2\bigr)\,3 =-13{,}5+(13{,}5-4{,}5)\cdot3 =-13{,}5+27 =13{,}5.

Resposta

O fluxo é máximo quando a=3 e b=\tfrac{3}{2}, e o maior fluxo vale
\frac{27}{2}.

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