Para \mathbf{F}(x, y)=\left(3 y-\sin x, 7 x+y^{4}+1\right) em C: x^{2}+y^{2}=9, calcule \oint_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}.

Passo 1

O enunciado dá a campo vetorial \mathbf{F}(x,y)=\big(3y-\sin x,\;7x+y^{4}+1\big) e a curva C definida por x^{2}+y^{2}=9. Pede-se calcular \displaystyle \oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A curva C é o círculo de raio 3 centrado na origem (pois x^{2}+y^{2}=9).
  • O campo tem componentes P(x,y)=3y-\sin x e Q(x,y)=7x+y^{4}+1.
  • A integral pedida é a integral de linha do campo ao longo de C: \displaystyle \oint_{C}P\,dx+Q\,dy.
Observação importante (não é resolução ainda): quando não é indicada a orientação de C, adota-se normalmente a orientação positiva (anti-horária). Vou proceder assumindo essa orientação; se a orientação fosse oposta, o resultado teria sinal trocado.

Passo 2

Escolha do método (e por quê). Aqui é muito conveniente usar o Teorema de Green porque:
  • C é uma curva fechada simples que delimita a região D (o disco de raio 3);
  • as funções P e Q têm derivadas parciais contínuas em todo o disco (são polinômios e \sin x, tudo suave).
    O Teorema de Green transforma a integral de contorno numa integral dupla sobre a região interior, normalmente simplificando o cálculo.
Enunciado do Teorema de Green (forma usada): para P,P_y,Q_x contínuos em D e C=\partial D com orientação positiva,
\oint_{C} P\,dx + Q\,dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.
Aqui dA é o elemento de área na região D. Explicando as notações:
  • \frac{\partial Q}{\partial x} é a derivada parcial de Q em relação a x;
  • \frac{\partial P}{\partial y} é a derivada parcial de P em relação a y.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais que aparecem no integrando:
  • P(x,y)=3y-\sin x. Então
\frac{\partial P}{\partial y}=3,
pois \sin x não depende de y e a derivada de 3y em relação a y é 3.
  • Q(x,y)=7x+y^{4}+1. Então
\frac{\partial Q}{\partial x}=7,
pois y^{4}+1 não depende de x e a derivada de 7x em relação a x é 7.

Passo 4

Formar o integrando do Teorema de Green:
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=7-3=4.
Notar que o integrando é uma constante igual a 4. Isso simplifica muito a integral dupla: é só 4 vezes a área da região D.

Passo 5

Calcular a área da região D (o disco de raio 3). A área de um disco de raio R é \pi R^{2}. Aqui R=3, logo
\text{Área}(D)=\pi\cdot 3^{2}=9\pi.Á

Passo 6

Aplicar o Teorema de Green e concluir:
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\iint_{D} 4\,dA = 4\cdot \text{Área}(D)=4\cdot 9\pi = 36\pi.Á
Observação final útil para prova: se a orientação de C fosse a negativa (horária), o resultado seria -36\pi. Outra alternativa de solução seria parametrizar C por \mathbf{r}(t)=(3\cos t,3\sin t), t\in[0,2\pi], e calcular \int_{0}^{2\pi}\big(P\dot{x}+Q\dot{y}\big)\,dt; daria o mesmo resultado, porém é mais trabalhoso aqui porque o Teorema de Green é imediato.

Resposta

36\pi

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