Para
em
, calcule
.
Passo 1
O enunciado dá a campo vetorial
e a curva
definida por
. Pede-se calcular
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A curva
é o círculo de raio centrado na origem (pois ). - O campo tem componentes
e . - A integral pedida é a integral de linha do campo ao longo de
: .
Observação importante (não é resolução ainda): quando não é indicada a orientação de
, adota-se normalmente a orientação positiva (anti-horária). Vou proceder assumindo essa orientação; se a orientação fosse oposta, o resultado teria sinal trocado.
Passo 2
Escolha do método (e por quê). Aqui é muito conveniente usar o Teorema de Green porque:
-
é uma curva fechada simples que delimita a região (o disco de raio ); - as funções
e têm derivadas parciais contínuas em todo o disco (são polinômios e , tudo suave).
O Teorema de Green transforma a integral de contorno numa integral dupla sobre a região interior, normalmente simplificando o cálculo.
Enunciado do Teorema de Green (forma usada): para
contínuos em
e
com orientação positiva,
Aqui
é o elemento de área na região
. Explicando as notações:
-
é a derivada parcial de em relação a ; -
é a derivada parcial de em relação a .
Passo 3
Calcular as derivadas parciais que aparecem no integrando:
-
. Então
pois
não depende de
e a derivada de
em relação a
é
.
-
. Então
pois
não depende de
e a derivada de
em relação a
é
.
Passo 4
Formar o integrando do Teorema de Green:
Notar que o integrando é uma constante igual a
. Isso simplifica muito a integral dupla: é só
vezes a área da região
.
Passo 5
Calcular a área da região
(o disco de raio
). A área de um disco de raio
é
. Aqui
, logo
Passo 6
Aplicar o Teorema de Green e concluir:
Observação final útil para prova: se a orientação de
fosse a negativa (horária), o resultado seria
. Outra alternativa de solução seria parametrizar
por
,
, e calcular
; daria o mesmo resultado, porém é mais trabalhoso aqui porque o Teorema de Green é imediato.