Uma onda harmônica plana, linearmente polarizada, tem o vetor campo elétrico descrito por \mathbf{E}=10 \hat{x} \cos \left(2 \times 10^{7} z+4 \times 10^{15} t+\pi\right) \mathrm{V} / \mathrm{m}. Considere as dimensões no SI. Determine:
a) O número de onda;
b) A fase inicial;
c) A direção de polarização;
d) A direção do vetor campo magnético \mathbf{H};
e) A direção e sentido do vetor de Poynting \mathbf{S};
f) O índice de refração do meio.

Passo 1

O enunciado nos dá uma onda harmônica plana, linearmente polarizada, com campo elétrico
\mathbf{E} = 10\,\hat{x}\,\cos\bigl(2\times10^{7}z \;+\;4\times10^{15}t\;+\;\pi\bigr)\\ \mathrm{V/m}.
Precisamos encontrar:
a) número de onda k
b) fase inicial \varphi
c) direção de polarização
d) direção de \mathbf{H}
e) direção e sentido de \mathbf{S}
f) índice de refração n.

Passo 2

Para achar o número de onda basta identificar o coeficiente de z dentro do cosseno. Da expressão
\cos\bigl(2\times10^{7}z+\cdots\bigr)
vemos que
k = 2\times10^{7}\\ \mathrm{m^{-1}}.

Passo 3

A fase inicial \varphi é o termo constante que aparece dentro do cosseno quando z=0 e t=0. Logo \varphi = \pi.

Passo 4

A direção de polarização é dada pelo versor que multiplica o cosseno no campo elétrico. Aqui \mathbf{E}\parallel \hat{x}, ou seja, a onda é polarizada ao longo do eixo x.

Passo 5

Para achar a direção de \mathbf{H} lembramos que \mathbf{E}, \mathbf{H} e o vetor de propagação \mathbf{k} formam um sistema destro com
\mathbf{E}\times\mathbf{H} = \mathbf{S}\parallel \mathbf{k}.
Reescrevendo o argumento do cosseno como \omega t -(-kz)+\varphi, vemos que a onda se propaga no sentido de -\hat{z}. Então \mathbf{k} = -k\,\hat{z} e \mathbf{S} aponta em -\hat{z}. Como \mathbf{E}\parallel\hat{x} e \hat{x}\times\mathbf{H} = -\hat{z}, temos
\mathbf{H}\parallel -\,\hat{y}.

Passo 6

O vetor de Poynting \mathbf{S} = \mathbf{E}\times\mathbf{H} aponta no mesmo sentido de \mathbf{k}, ou seja,
\mathbf{S}\parallel -\,\hat{z}.
O sentido é para valores decrescentes de z.

Passo 7

O índice de refração n do meio relaciona a velocidade de fase v com a de luz no vácuo c por v = c/n e \omega = v\,k. Portanto
n = \frac{c\,k}{\omega}.
Substituindo c=3\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}, k=2\times10^{7}\\ \mathrm{m^{-1}} e \omega=4\times10^{15}\\ \mathrm{s^{-1}}, vem
n = \frac{3\times10^{8}\times2\times10^{7}}{4\times10^{15}} = 1,5.

Resposta

a) k = 2\times10^{7}\\ \mathrm{m^{-1}}
b) \varphi = \pi
c) direção de polarização: \hat{x}
d) \mathbf{H} aponta em -\,\hat{y}
e) \mathbf{S} aponta em -\,\hat{z} (sentido decrescente de z)
f) n = 1,5

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