Se \mathbf{a}=\langle-4,0,3\rangle, \mathbf{b}=\langle 2,-1,0\rangle e \mathbf{c}=\langle 0,2,5\rangle, mostre que \mathbf{a} \times(\mathbf{b} \times \mathbf{c}) \neq(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \times \mathbf{c}.

Passo 1

O enunciado dá três vetores e pede para mostrar que dois vetores (produtos vetoriais aninhados) são diferentes. Escreverei claramente o que temos e o que se pede.
  • Vetores dados:
    \mathbf{a}=\langle -4,0,3\rangle,
    \mathbf{b}=\langle 2,-1,0\rangle,
    \mathbf{c}=\langle 0,2,5\rangle.
  • O que pedir: mostrar que
    \mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times\mathbf{c}) \neq (\mathbf{a}\times\mathbf{b})\times\mathbf{c}.

Passo 2

Primeiro, lembrete do que é o produto vetorial e como calculá‑lo em componentes.
  • Definição prática (fórmula de componentes). Para \mathbf{u}=\langle u_1,u_2,u_3\rangle e \mathbf{v}=\langle v_1,v_2,v_3\rangle,
    \mathbf{u}\times\mathbf{v}=\big\langle u_2v_3-u_3v_2,\;u_3v_1-u_1v_3,\;u_1v_2-u_2v_1\big\rangle.
    Essa fórmula vem da expansão do determinante 3×3 com a base canônica; ela dá as componentes do vetor perpendicular aos dois vetores.
  • Significado físico/geométrico rápido: \mathbf{u}\times\mathbf{v} é um vetor perpendicular a \mathbf{u} e \mathbf{v}, com magnitude igual à área do paralelogramo gerado por \mathbf{u} e \mathbf{v}, direção dada pela regra da mão direita.

Passo 3

Existe uma identidade muito útil (a identidade BAC–CAB) para o produto vetorial de um produto vetorial:
\mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times\mathbf{c})=\mathbf{b}(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})-\mathbf{c}(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}).
  • Interpretação: a expressão à direita é uma combinação linear de \mathbf{b} e \mathbf{c}; os coeficientes são produtos escalares ( \mathbf{a}\cdot\mathbf{c} e \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}) que medem projeções/compatibilidades entre vetores.
Também podemos escrever uma fórmula análoga para (\mathbf{a}\times\mathbf{b})\times\mathbf{c}. Usando a relação (\mathbf{a}\times\mathbf{b})\times\mathbf{c}=-\mathbf{c}\times(\mathbf{a}\times\mathbf{b}) e aplicando a identidade com permutações, obtemos
(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\times\mathbf{c}=\mathbf{b}(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})-\mathbf{a}(\mathbf{b}\cdot\mathbf{c}).
Note que as duas fórmulas têm o mesmo primeiro termo \mathbf{b}(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}), mas os segundos termos são diferentes: um é -\mathbf{c}(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}) e o outro é -\mathbf{a}(\mathbf{b}\cdot\mathbf{c}). Em geral esses termos não coincidem, por isso os dois vetores aninhados costumam ser diferentes.

Passo 4

Calcular os produtos escalares necessários (vou mostrar as contas passo a passo).
  • \mathbf{a}\cdot\mathbf{c} = (-4)\cdot 0 + 0\cdot 2 + 3\cdot 5 = 0 + 0 + 15 = 15.
  • \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = (-4)\cdot 2 + 0\cdot(-1) + 3\cdot 0 = -8 + 0 + 0 = -8.
  • \mathbf{b}\cdot\mathbf{c} = 2\cdot 0 + (-1)\cdot 2 + 0\cdot 5 = 0 -2 + 0 = -2.
Resumo:
\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}=15,\quad \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=-8,\quad \mathbf{b}\cdot\mathbf{c}=-2.

Passo 5

Calcular \mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times\mathbf{c}) usando a identidade BAC–CAB:
\mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times\mathbf{c})=\mathbf{b}(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})-\mathbf{c}(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}).
Substituindo os escalares e os vetores:
  • \mathbf{b}(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}) = 15\mathbf{b} = 15\langle 2,-1,0\rangle = \langle 30,-15,0\rangle.
  • -\mathbf{c}(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}) = -(-8)\mathbf{c} = 8\mathbf{c} = 8\langle 0,2,5\rangle = \langle 0,16,40\rangle.
Somando:
\mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times\mathbf{c})=\langle 30,-15,0\rangle+\langle 0,16,40\rangle=\langle 30,1,40\rangle.

Passo 6

Calcular (\mathbf{a}\times\mathbf{b})\times\mathbf{c} usando a fórmula obtida:
(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\times\mathbf{c}=\mathbf{b}(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})-\mathbf{a}(\mathbf{b}\cdot\mathbf{c}).
Substituindo:
  • \mathbf{b}(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}) = 15\mathbf{b} = \langle 30,-15,0\rangle (já calculado).
  • -\mathbf{a}(\mathbf{b}\cdot\mathbf{c}) = -(-2)\mathbf{a} = 2\mathbf{a} = 2\langle -4,0,3\rangle = \langle -8,0,6\rangle.
Somando:
(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\times\mathbf{c}=\langle 30,-15,0\rangle+\langle -8,0,6\rangle=\langle 22,-15,6\rangle.

Passo 7

Comparação final e conclusão:
  • \mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times\mathbf{c})=\langle 30,1,40\rangle.
  • (\mathbf{a}\times\mathbf{b})\times\mathbf{c}=\langle 22,-15,6\rangle.
Como as componentes não coincidem (por exemplo, 30\neq 22 e 1\neq -15), temos
\mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times\mathbf{c})\neq(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\times\mathbf{c}.
Bom trabalho! Foi só aplicar a identidade vetorial e fazer contas diretas — dá um pouco de medo no começo, mas é mecânico e confiável.

Resposta

\mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times\mathbf{c})=\langle 30,1,40\rangle\n
(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\times\mathbf{c}=\langle 22,-15,6\rangle\n
Portanto \mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times\mathbf{c})\neq(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\times\mathbf{c}.

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