Se
e
, mostre que
.
Passo 1
O enunciado dá três vetores e pede para mostrar que dois vetores (produtos vetoriais aninhados) são diferentes. Escreverei claramente o que temos e o que se pede.
-
Vetores dados:
,
,
. -
O que pedir: mostrar que
Passo 2
Primeiro, lembrete do que é o produto vetorial e como calculá‑lo em componentes.
-
Definição prática (fórmula de componentes). Para
e , Essa fórmula vem da expansão do determinante 3×3 com a base canônica; ela dá as componentes do vetor perpendicular aos dois vetores. -
Significado físico/geométrico rápido:
é um vetor perpendicular a e , com magnitude igual à área do paralelogramo gerado por e , direção dada pela regra da mão direita.
Passo 3
Existe uma identidade muito útil (a identidade BAC–CAB) para o produto vetorial de um produto vetorial:
- Interpretação: a expressão à direita é uma combinação linear de
e ; os coeficientes são produtos escalares ( e ) que medem projeções/compatibilidades entre vetores.
Também podemos escrever uma fórmula análoga para
. Usando a relação
e aplicando a identidade com permutações, obtemos
Note que as duas fórmulas têm o mesmo primeiro termo
, mas os segundos termos são diferentes: um é
e o outro é
. Em geral esses termos não coincidem, por isso os dois vetores aninhados costumam ser diferentes.
Passo 4
Calcular os produtos escalares necessários (vou mostrar as contas passo a passo).
Resumo:
Passo 5
Calcular
usando a identidade BAC–CAB:
Substituindo os escalares e os vetores:
Somando:
Passo 6
Calcular
usando a fórmula obtida:
Substituindo:
-
(já calculado). -
Somando:
Passo 7
Comparação final e conclusão:
Como as componentes não coincidem (por exemplo,
e
), temos
Bom trabalho! Foi só aplicar a identidade vetorial e fazer contas diretas — dá um pouco de medo no começo, mas é mecânico e confiável.
Resposta
Portanto