Se \mathbf{a}=\langle 0,1,2\rangle e \mathbf{b}=\langle 3,1,0\rangle, encontre \mathbf{a} \times \mathbf{b} e \mathbf{b} \times \mathbf{a}.

Passo 1

O enunciado dá as duas vetores e pede dois produtos vetoriais. Dados (peguei os vetores do enunciado):
  • \mathbf{a}=\langle 0,1,2\rangle.
  • \mathbf{b}=\langle 3,1,0\rangle.
O que pedir:
  1. Calcular \mathbf{a}\times\mathbf{b}.
  2. Calcular \mathbf{b}\times\mathbf{a}.

Passo 2

O que é o produto vetorial (cross product) e como calculá-lo, passo a passo, de forma prática:
  • Definição prática: para \mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3) e \mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3), o produto vetorial \mathbf{a}\times\mathbf{b} é o vetor
\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\bigl(a_2 b_3 - a_3 b_2,\; a_3 b_1 - a_1 b_3,\; a_1 b_2 - a_2 b_1\bigr).
  • Significado de cada símbolo:
    • a_1,a_2,a_3 são as componentes de \mathbf{a} nas direções x,y,z.
    • b_1,b_2,b_3 são as componentes de \mathbf{b}.
    • Cada componente do produto é uma combinação das componentes de \mathbf{a} e \mathbf{b} conforme a fórmula acima.
  • Propriedade útil: o produto vetorial é anticomutativo, isto é,
\mathbf{b}\times\mathbf{a} = -(\mathbf{a}\times\mathbf{b}).
  • Outra forma visual (equivalente) para lembrar os sinais é usar o determinante com os vetores das componentes:
\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ a_1 & a_2 & a_3 \\\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix},
onde \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k} são os vetores unitários.

Passo 3

Agora aplico a fórmula com as componentes dadas. Identificando:
  • a_1=0, a_2=1, a_3=2.
  • b_1=3, b_2=1, b_3=0.
Calculo cada componente de \mathbf{a}\times\mathbf{b}:
Primeira componente (x):
a_2 b_3 - a_3 b_2 = 1\cdot 0 - 2\cdot 1 = 0 - 2 = -2.
Segunda componente (y):
a_3 b_1 - a_1 b_3 = 2\cdot 3 - 0\cdot 0 = 6 - 0 = 6.
Terceira componente (z):
a_1 b_2 - a_2 b_1 = 0\cdot 1 - 1\cdot 3 = 0 - 3 = -3.
Portanto, pelo cálculo passo a passo,
\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\langle -2,\,6,\,-3\rangle.

Passo 4

Verificação rápida (boa prática na prova): o produto vetorial deve ser ortogonal a \mathbf{a} e a \mathbf{b}. Faço os produtos escalares:
Produto com \mathbf{a}:
(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot\mathbf{a}=(-2)\cdot 0 + 6\cdot 1 + (-3)\cdot 2 = 0 + 6 - 6 = 0.
Produto com \mathbf{b}:
(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot\mathbf{b}=(-2)\cdot 3 + 6\cdot 1 + (-3)\cdot 0 = -6 + 6 + 0 = 0.
Como ambos são zero, \mathbf{a}\times\mathbf{b} é ortogonal a \mathbf{a} e a \mathbf{b}, consistindo com a definição — sinal de que o cálculo está correto.
Também é interessante notar que a magnitude de \mathbf{a}\times\mathbf{b} é a área do paralelogramo gerado por \mathbf{a} e \mathbf{b}. Aqui:
\|\mathbf{a}\times\mathbf{b}\|=\sqrt{(-2)^2+6^2+(-3)^2}=\sqrt{4+36+9}=\sqrt{49}=7.

Passo 5

Agora calculo \mathbf{b}\times\mathbf{a}. Pelo fato de o produto ser anticomutativo, posso usar direto:
\mathbf{b}\times\mathbf{a}= -(\mathbf{a}\times\mathbf{b}) = -\langle -2,\,6,\,-3\rangle = \langle 2,\,-6,\,3\rangle.
Para confirmar explicitamente, uso a fórmula componente a componente com b_1=3,b_2=1,b_3=0 e a_1=0,a_2=1,a_3=2:
Primeira componente:
b_2 a_3 - b_3 a_2 = 1\cdot 2 - 0\cdot 1 = 2.
Segunda componente:
b_3 a_1 - b_1 a_3 = 0\cdot 0 - 3\cdot 2 = -6.
Terceira componente:
b_1 a_2 - b_2 a_1 = 3\cdot 1 - 1\cdot 0 = 3.
Logo,
\mathbf{b}\times\mathbf{a}=\langle 2,\,-6,\,3\rangle,
coincidindo com a propriedade anticomutativa.

Resposta

\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\langle -2,\,6,\,-3\rangle
\mathbf{b}\times\mathbf{a}=\langle 2,\,-6,\,3\rangle

Exercícios relacionados