Se
e
, encontre
e
.
Passo 1
O enunciado dá as duas vetores e pede dois produtos vetoriais. Dados (peguei os vetores do enunciado):
-
. -
.
O que pedir:
- Calcular
. - Calcular
.
Passo 2
O que é o produto vetorial (cross product) e como calculá-lo, passo a passo, de forma prática:
- Definição prática: para
e , o produto vetorial é o vetor
- Significado de cada símbolo:
-
são as componentes de nas direções . -
são as componentes de . - Cada componente do produto é uma combinação das componentes de
e conforme a fórmula acima.
-
- Propriedade útil: o produto vetorial é anticomutativo, isto é,
- Outra forma visual (equivalente) para lembrar os sinais é usar o determinante com os vetores das componentes:
onde
são os vetores unitários.
Passo 3
Agora aplico a fórmula com as componentes dadas. Identificando:
-
, , . -
, , .
Calculo cada componente de
:
Primeira componente (x):
Segunda componente (y):
Terceira componente (z):
Portanto, pelo cálculo passo a passo,
Passo 4
Verificação rápida (boa prática na prova): o produto vetorial deve ser ortogonal a
e a
. Faço os produtos escalares:
Produto com
:
Produto com
:
Como ambos são zero,
é ortogonal a
e a
, consistindo com a definição — sinal de que o cálculo está correto.
Também é interessante notar que a magnitude de
é a área do paralelogramo gerado por
e
. Aqui:
Passo 5
Agora calculo
. Pelo fato de o produto ser anticomutativo, posso usar direto:
Para confirmar explicitamente, uso a fórmula componente a componente com
e
:
Primeira componente:
Segunda componente:
Terceira componente:
Logo,
coincidindo com a propriedade anticomutativa.