Pede-se o volume do paralelepípedo cujos lados adjacentes em P são os vetores \overrightarrow{PQ}, \overrightarrow{PR} e \overrightarrow{PS}.
Informações relevantes dadas:
P,Q,R,S \text{ (coordenadas dos pontos) }
O que é pedido:
\text{o volume do paralelepípedo formado por } \overrightarrow{PQ},\overrightarrow{PR},\overrightarrow{PS}.í
Passo 2
Fórmula que vamos usar (explicação didática). O volume V de um paralelepípedo cujos lados adjacentes são os vetores \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c} é o valor absoluto do produto escalar do primeiro com o produto vetorial dos outros dois (produto misto ou produto escalar triplo):
\mathbf{b}\times\mathbf{c} é um vetor perpendicular tanto a \mathbf{b} quanto a \mathbf{c}; seu comprimento é a área do paralelogramo gerado por \mathbf{b} e \mathbf{c}.
Fazer o produto escalar de \mathbf{a} com esse vetor dá a “altura” na direção de \mathbf{a} multiplicada pela base (a área do paralelogramo), portanto fornece o volume com sinal; tomar o valor absoluto dá o volume positivo.
Fórmulas úteis para computar na prática:
Produto vetorial, para \mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3) e \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3),
Calcular explicitamente os vetores \overrightarrow{PQ},\overrightarrow{PR},\overrightarrow{PS} a partir das coordenadas (subtraindo coordenada a coordenada):
Calcular o produto vetorial \overrightarrow{PR}\times\overrightarrow{PS} usando a fórmula componente a componente. Para \overrightarrow{PR}=(3,0,6) e \overrightarrow{PS}=(2,-2,-3),
Calcular o produto escalar \overrightarrow{PQ}\cdot(\overrightarrow{PR}\times\overrightarrow{PS}). Com \overrightarrow{PQ}=(1,-1,2) e \overrightarrow{PR}\times\overrightarrow{PS}=(12,21,-6),
(verificação alternativa, útil na prova) O produto escalar triplo também é o determinante da matriz cujas linhas (ou colunas) são as componentes dos três vetores. Montando a matriz com linhas \overrightarrow{PQ},\overrightarrow{PR},\overrightarrow{PS}:
Calculando o determinante por expansão (mesmos cálculos do passo anterior) resulta em -21, cuja magnitude confirma V=21. Isso é uma boa checagem rápida na prova.]