Dados os pontos P(1,1,1), Q(2,0,3), R(4,1,7) e S(3,-1,-2), determine o volume do paralelepípedo com lados adjacentes P Q, P R e P S.

Passo 1

O enunciado dá quatro pontos no espaço tridimensional:
P(1,1,1),\qquad Q(2,0,3),\qquad R(4,1,7),\qquad S(3,-1,-2).
Pede-se o volume do paralelepípedo cujos lados adjacentes em P são os vetores \overrightarrow{PQ}, \overrightarrow{PR} e \overrightarrow{PS}.
Informações relevantes dadas:
P,Q,R,S \text{ (coordenadas dos pontos) }
O que é pedido:
\text{o volume do paralelepípedo formado por } \overrightarrow{PQ},\overrightarrow{PR},\overrightarrow{PS}.í

Passo 2

Fórmula que vamos usar (explicação didática). O volume V de um paralelepípedo cujos lados adjacentes são os vetores \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c} é o valor absoluto do produto escalar do primeiro com o produto vetorial dos outros dois (produto misto ou produto escalar triplo):
V=\left|\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})\right|.
O que isso significa, em palavras simples:
  • \mathbf{b}\times\mathbf{c} é um vetor perpendicular tanto a \mathbf{b} quanto a \mathbf{c}; seu comprimento é a área do paralelogramo gerado por \mathbf{b} e \mathbf{c}.
  • Fazer o produto escalar de \mathbf{a} com esse vetor dá a “altura” na direção de \mathbf{a} multiplicada pela base (a área do paralelogramo), portanto fornece o volume com sinal; tomar o valor absoluto dá o volume positivo.
Fórmulas úteis para computar na prática:
  • Produto vetorial, para \mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3) e \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3),
\mathbf{u}\times\mathbf{v}=\big(u_2v_3-u_3v_2,\;u_3v_1-u_1v_3,\;u_1v_2-u_2v_1\big).
  • Produto escalar, para \mathbf{u} e \mathbf{v},
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3.

Passo 3

Calcular explicitamente os vetores \overrightarrow{PQ},\overrightarrow{PR},\overrightarrow{PS} a partir das coordenadas (subtraindo coordenada a coordenada):
\overrightarrow{PQ}=Q-P=(2-1,\;0-1,\;3-1)=(1,-1,2),
\overrightarrow{PR}=R-P=(4-1,\;1-1,\;7-1)=(3,0,6),
\overrightarrow{PS}=S-P=(3-1,\;-1-1,\;-2-1)=(2,-2,-3).

Passo 4

Calcular o produto vetorial \overrightarrow{PR}\times\overrightarrow{PS} usando a fórmula componente a componente. Para \overrightarrow{PR}=(3,0,6) e \overrightarrow{PS}=(2,-2,-3),
\overrightarrow{PR}\times\overrightarrow{PS}=\big(0\cdot(-3)-6\cdot(-2),\;6\cdot2-3\cdot(-3),\;3\cdot(-2)-0\cdot2\big).
Agora executar cada componente:
\text{componente }1: \;0\cdot(-3)-6\cdot(-2)=0+12=12,
\text{componente }2: \;6\cdot2-3\cdot(-3)=12+9=21,
\text{componente }3: \;3\cdot(-2)-0\cdot2=-6-0=-6.
Portanto
\overrightarrow{PR}\times\overrightarrow{PS}=(12,\,21,\,-6).

Passo 5

Calcular o produto escalar \overrightarrow{PQ}\cdot(\overrightarrow{PR}\times\overrightarrow{PS}). Com \overrightarrow{PQ}=(1,-1,2) e \overrightarrow{PR}\times\overrightarrow{PS}=(12,21,-6),
\overrightarrow{PQ}\cdot(\overrightarrow{PR}\times\overrightarrow{PS})=1\cdot12+(-1)\cdot21+2\cdot(-6).
Efetuando as multiplicações e a soma:
1\cdot12=12,\qquad (-1)\cdot21=-21,\qquad 2\cdot(-6)=-12,
12-21-12= -21.

Passo 6

O volume é o valor absoluto do produto escalar triplo:
V=\left|\overrightarrow{PQ}\cdot(\overrightarrow{PR}\times\overrightarrow{PS})\right|=|-21|=21.

Passo 7

(verificação alternativa, útil na prova) O produto escalar triplo também é o determinante da matriz cujas linhas (ou colunas) são as componentes dos três vetores. Montando a matriz com linhas \overrightarrow{PQ},\overrightarrow{PR},\overrightarrow{PS}:
\begin{vmatrix} 1 & -1 & 2\\[4pt] 3 & 0 & 6\\[4pt] 2 & -2 & -3 \end{vmatrix}.
Calculando o determinante por expansão (mesmos cálculos do passo anterior) resulta em -21, cuja magnitude confirma V=21. Isso é uma boa checagem rápida na prova.]

Resposta

\,21

Exercícios relacionados