\mathbf{3}^{\mathrm{a}} Questão (4 escores): Cálculo de áreas.

Descrever como calcular, em um sistema de coordenadas cartesianas, a área abaixo da curva y=f(x), acima do eixo x e limitada lateralmente pelas retas x=-2 e x=2 da seguinte função:
f(x)= \begin{cases}x^{2}, & \text { se } x \leq 0 \\\ x^{3}, & \text { se } x \geq 0\end{cases}
Calcule a área!

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a área, no plano cartesiano, que está abaixo da curva [y=f(x)), acima do eixo x e com x variando entre -2 e 2.
Informações dadas: a função é dada por
f(x)= \begin{cases}x^{2}, & \text{se } x \leq 0 \\[4pt] x^{3}, & \text{se } x \geq 0\end{cases}
e os limites laterais são as retas x=-2\] e \(x=2.
Pergunta clara: qual é o valor numérico da área pedida?]

Passo 2

Verificar o sinal de f(x) no intervalo [-2,2], porque a área acima do eixo x e abaixo da curva, quando a função é não negativa, é simplesmente a integral definida da função.
Para x\le 0 temos f(x)=x^{2}. Como x^{2}\ge 0 para todo x, então f(x)\ge 0 em [-2,0].
Para x\ge 0 temos f(x)=x^{3}. Como x^{3}\ge 0 para x\ge 0, então f(x)\ge 0 em [0,2].
Conclusão: em todo o intervalo [-2,2] a função é não negativa, portanto a área procurada é
\text{Área}=\int_{-2}^{2} f(x)\,dx.Á

Passo 3

Como f é definida por partes (uma expressão em [-2,0] e outra em [0,2]), dividimos a integral em duas:
\int_{-2}^{2} f(x)\,dx = \int_{-2}^{0} x^{2}\,dx + \int_{0}^{2} x^{3}\,dx.
Isto usa a propriedade linear da integral: a integral sobre a união de dois intervalos adjacentes é a soma das integrais em cada intervalo quando a função é integrável (aqui é polinomial, logo integrável).

Passo 4

Explicar como calcular cada integral: usamos a regra de potência para primitivas (antiderivadas). A regra diz que, para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,
onde C é constante de integração. Aqui n=2 e n=3, então as primitivas são:
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3} + C,\qquad \int x^{3}\,dx = \frac{x^{4}}{4} + C.
O que isso significa na prática: para calcular a integral definida \int_{a}^{b} x^{n}\,dx avaliamos a primitiva em b e em a e subtraímos (Teorema Fundamental do Cálculo):
\int_{a}^{b} x^{n}\,dx = \left.\frac{x^{n+1}}{n+1}\right|_{a}^{b} = \frac{b^{n+1}}{n+1}-\frac{a^{n+1}}{n+1}.

Passo 5

Calcular a primeira integral \int_{-2}^{0} x^{2}\,dx usando a primitiva \frac{x^{3}}{3}:
\int_{-2}^{0} x^{2}\,dx = \left.\frac{x^{3}}{3}\right|_{-2}^{0} = \frac{0^{3}}{3}-\frac{(-2)^{3}}{3}.
Agora compute cada termo: 0^{3}=0 e (-2)^{3}=-8. Assim
\int_{-2}^{0} x^{2}\,dx = 0 - \frac{-8}{3} = \frac{8}{3}.

Passo 6

Calcular a segunda integral \int_{0}^{2} x^{3}\,dx usando a primitiva \frac{x^{4}}{4}:
\int_{0}^{2} x^{3}\,dx = \left.\frac{x^{4}}{4}\right|_{0}^{2} = \frac{2^{4}}{4}-\frac{0^{4}}{4}.
Agora compute: 2^{4}=16 e 0^{4}=0. Logo
\int_{0}^{2} x^{3}\,dx = \frac{16}{4}-0 = 4.

Passo 7

Somar as duas contribuições para obter a área total:
\text{Área} = \frac{8}{3} + 4.Á
Colocando em denominador comum:
4 = \frac{12}{3},
portanto
\text{Área} = \frac{8}{3}+\frac{12}{3}=\frac{20}{3}.Á

Resposta

\dfrac{20}{3}

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