\mathbf{3}^{\mathrm{a}} Questão (4 escores): Cálculo de áreas.
Descrever como calcular, em um sistema de coordenadas cartesianas, a área abaixo da curva y=f(x), acima do eixo x e limitada lateralmente pelas retas x=-2 e x=2 da seguinte função:
f(x)= \begin{cases}x^{2}, & \text { se } x \leq 0 \\\ x^{3}, & \text { se } x \geq 0\end{cases}
Calcule a área!
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a área, no plano cartesiano, que está abaixo da curva [y=f(x)), acima do eixo x e com x variando entre -2 e 2.
Informações dadas: a função é dada por
f(x)= \begin{cases}x^{2}, & \text{se } x \leq 0 \\[4pt] x^{3}, & \text{se } x \geq 0\end{cases}
e os limites laterais são as retas x=-2\] e \(x=2.
Pergunta clara: qual é o valor numérico da área pedida?]
Passo 2
Verificar o sinal de f(x) no intervalo [-2,2], porque a área acima do eixo x e abaixo da curva, quando a função é não negativa, é simplesmente a integral definida da função.
Para x\le 0 temos f(x)=x^{2}. Como x^{2}\ge 0 para todo x, então f(x)\ge 0 em [-2,0].
Para x\ge 0 temos f(x)=x^{3}. Como x^{3}\ge 0 para x\ge 0, então f(x)\ge 0 em [0,2].
Conclusão: em todo o intervalo [-2,2] a função é não negativa, portanto a área procurada é
\text{Área}=\int_{-2}^{2} f(x)\,dx.
Passo 3
Como f é definida por partes (uma expressão em [-2,0] e outra em [0,2]), dividimos a integral em duas:
Isto usa a propriedade linear da integral: a integral sobre a união de dois intervalos adjacentes é a soma das integrais em cada intervalo quando a função é integrável (aqui é polinomial, logo integrável).
Passo 4
Explicar como calcular cada integral: usamos a regra de potência para primitivas (antiderivadas). A regra diz que, para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,
onde C é constante de integração. Aqui n=2 e n=3, então as primitivas são:
O que isso significa na prática: para calcular a integral definida \int_{a}^{b} x^{n}\,dx avaliamos a primitiva em b e em a e subtraímos (Teorema Fundamental do Cálculo):