Em uma certa região do espaço o potencial elétrico V seja dado por V(x, y, z)= 3 x^{2}-6 x y+x y z. Determine:
a) A taxa de variação do potencial em P(3,-2,1) na direção do vetor v=\langle 1,1,-1\rangle
b) Em que direção V varia mais rapidamente em P ?
c) Qual a taxa máxima de variação em P ?

Passo 1

O enunciado dá o potencial elétrico e pede três coisas em P(3,-2,1):
  • A função: V(x,y,z)=3x^{2}-6xy+xyz.
  • O ponto: P=(3,-2,1).
  • O vetor de direção pedido em (a): v=\langle 1,1,-1\rangle.
Perguntas:
a) Qual a taxa de variação de V em P na direção de v?
b) Em que direção V varia mais rapidamente em P?
c) Qual a taxa máxima de variação de V em P?

Passo 2

Conceitos que vamos usar (explicação didática e intuitiva):
  • Gradiente: o gradiente de uma função escalar V(x,y,z) é o vetor formado pelas derivadas parciais. Ele aponta na direção de maior aumento de V e seu tamanho dá a taxa máxima de variação. Escrevemos
\nabla V = \left\langle \frac{\partial V}{\partial x},\; \frac{\partial V}{\partial y},\; \frac{\partial V}{\partial z}\right\rangle.
Cada componente é a taxa de variação de V quando apenas aquela coordenada varia.
  • Derivada direcional: a taxa de variação de V na direção de um vetor unitário u é o produto escalar entre o gradiente e u:
D_{u}V = \nabla V\cdot u.
Se o vetor dado não for unitário, primeiro normalizamos: u=\dfrac{v}{\|v\|}.
  • Máximo e direção: entre todos os vetores unitários u, o produto \nabla V\cdot u é máximo quando u aponta na mesma direção de \nabla V. O valor máximo é \|\nabla V\|.
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de V(x,y,z)=3x^{2}-6xy+xyz.
  • Derivada parcial em relação a x: trate y,z como constantes.
\frac{\partial V}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(3x^{2}) - \frac{\partial}{\partial x}(6xy) + \frac{\partial}{\partial x}(xyz).
Calculando termo a termo:
\frac{\partial}{\partial x}(3x^{2}) = 6x,\qquad \frac{\partial}{\partial x}(6xy)=6y,\qquad \frac{\partial}{\partial x}(xyz)=yz.
Portanto
\frac{\partial V}{\partial x}=6x-6y+yz.
  • Derivada parcial em relação a y: trate x,z como constantes.
\frac{\partial V}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(-6xy) + \frac{\partial}{\partial y}(xyz) = -6x + xz.
  • Derivada parcial em relação a z: trate x,y como constantes.
\frac{\partial V}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}(xyz) = xy.
Logo o gradiente geral é
\nabla V(x,y,z)=\langle 6x-6y+yz,\; -6x+xz,\; xy\rangle.

Passo 4

Avaliar o gradiente em P(3,-2,1). Substituo x=3, y=-2, z=1 nas componentes:
  • Primeira componente:
6x-6y+yz = 6\cdot 3 - 6\cdot(-2) + (-2)\cdot 1 = 18 + 12 - 2 = 28.
  • Segunda componente:
-6x + xz = -6\cdot 3 + 3\cdot 1 = -18 + 3 = -15.
  • Terceira componente:
xy = 3\cdot(-2) = -6.
Portanto
\nabla V(3,-2,1)=\langle 28,\; -15,\; -6\rangle.
Essa informação é central: ela nos dá direção e taxas locais.

Passo 5

Resolver (a): taxa de variação na direção de v=\langle 1,1,-1\rangle.
Primeiro normalizamos v. A norma de v é
\|v\|=\sqrt{1^{2}+1^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{3}.
O vetor unitário na direção de v é
u=\frac{v}{\|v\|}=\left\langle \frac{1}{\sqrt{3}},\; \frac{1}{\sqrt{3}},\; -\frac{1}{\sqrt{3}}\right\rangle.
A derivada direcional é o produto escalar \nabla V(P)\cdot u. Faço o produto escalar:
\nabla V(P)\cdot u = \langle 28,-15,-6\rangle\cdot \left\langle \frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}}\right\rangle = \frac{1}{\sqrt{3}}\bigl(28 + (-15) + (-6)(-1)\bigr).
Calculo dentro do parêntese:
28 -15 +6 = 19.
Logo
D_{u}V(P)=\frac{19}{\sqrt{3}}.
Interpretação rápida: subindo na direção dada, V aumenta a uma taxa de \frac{19}{\sqrt{3}} por unidade de deslocamento nessa direção.

Passo 6

Resolver (b): em que direção V varia mais rapidamente em P?
Pela teoria do gradiente (explicada no Passo 2), a direção de máxima variação é a direção do próprio vetor gradiente. Portanto a direção é a do vetor
\nabla V(3,-2,1)=\langle 28,\,-15,\,-6\rangle.
Se precisarmos de um vetor unitário nessa direção, normalizamos:
\text{direção unitária} = \frac{1}{\sqrt{1045}}\langle 28,\,-15,\,-6\rangle,çãá
pois \|\nabla V(P)\|=\sqrt{28^{2}+(-15)^{2}+(-6)^{2}}=\sqrt{1045}.

Passo 7

Resolver (c): qual a taxa máxima de variação em P?
Pela propriedade do produto escalar com vetor unitário (Passo 2), a taxa máxima é justamente o módulo do gradiente em P:
\text{taxa máxima}=\|\nabla V(3,-2,1)\|=\sqrt{28^{2}+(-15)^{2}+(-6)^{2}}=\sqrt{1045}.á
Se quiser uma aproximação numérica:
\sqrt{1045}\approx 32{,}345\ldots
mas a forma exata \sqrt{1045} é preferível.

Resposta

\dfrac{19}{\sqrt{3}}
\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1045}}\langle 28,-15,-6\rangle
\sqrt{1045}

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