Em uma certa região do espaço o potencial elétrico V seja dado por
. Determine:
a) A taxa de variação do potencial em
na direção do vetor
b) Em que direção
varia mais rapidamente em
?
c) Qual a taxa máxima de variação em
?
a) A taxa de variação do potencial em
b) Em que direção
c) Qual a taxa máxima de variação em
Passo 1
O enunciado dá o potencial elétrico e pede três coisas em
:
- A função:
. - O ponto:
. - O vetor de direção pedido em (a):
.
Perguntas:
a) Qual a taxa de variação de em
na direção de
?
b) Em que direção varia mais rapidamente em
?
c) Qual a taxa máxima de variação de em
?
a) Qual a taxa de variação de
b) Em que direção
c) Qual a taxa máxima de variação de
Passo 2
Conceitos que vamos usar (explicação didática e intuitiva):
- Gradiente: o gradiente de uma função escalar
é o vetor formado pelas derivadas parciais. Ele aponta na direção de maior aumento de e seu tamanho dá a taxa máxima de variação. Escrevemos
Cada componente é a taxa de variação de
quando apenas aquela coordenada varia.
- Derivada direcional: a taxa de variação de
na direção de um vetor unitário é o produto escalar entre o gradiente e :
Se o vetor dado não for unitário, primeiro normalizamos:
.
- Máximo e direção: entre todos os vetores unitários
, o produto é máximo quando aponta na mesma direção de . O valor máximo é .
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
.
- Derivada parcial em relação a
: trate como constantes.
Calculando termo a termo:
Portanto
- Derivada parcial em relação a
: trate como constantes.
- Derivada parcial em relação a
: trate como constantes.
Logo o gradiente geral é
Passo 4
Avaliar o gradiente em
. Substituo
,
,
nas componentes:
- Primeira componente:
- Segunda componente:
- Terceira componente:
Portanto
Essa informação é central: ela nos dá direção e taxas locais.
Passo 5
Resolver (a): taxa de variação na direção de
.
Primeiro normalizamos
. A norma de
é
O vetor unitário na direção de
é
A derivada direcional é o produto escalar
. Faço o produto escalar:
Calculo dentro do parêntese:
Logo
Interpretação rápida: subindo na direção dada,
aumenta a uma taxa de
por unidade de deslocamento nessa direção.
Passo 6
Resolver (b): em que direção
varia mais rapidamente em
?
Pela teoria do gradiente (explicada no Passo 2), a direção de máxima variação é a direção do próprio vetor gradiente. Portanto a direção é a do vetor
Se precisarmos de um vetor unitário nessa direção, normalizamos:
pois
.
Passo 7
Resolver (c): qual a taxa máxima de variação em
?
Pela propriedade do produto escalar com vetor unitário (Passo 2), a taxa máxima é justamente o módulo do gradiente em
:
Se quiser uma aproximação numérica:
mas a forma exata
é preferível.