Use os multiplicadores de Lagrange para determinar os pontos criticos da funçăo
com a restrição
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e uma restrição linear, e pede os pontos críticos de
sujeitos a essa restrição. Dados e objetivo:
Restrição:
Pergunta: determinar os pontos
que são críticos de
quando obrigados a satisfazer a restrição acima.
Passo 2
Introduzindo a ideia-chave (o cerne do método que vamos aplicar): para encontrar extremos de uma função sujeita a uma restrição
é conveniente formar a função de Lagrange
, que combina a função objetivo e a restrição com um multiplicador
. Aqui definimos a função de restrição
que é zero exatamente quando a restrição é satisfeita. A função de Lagrange é
Explicação didática: o multiplicador
é um número que ajustamos para forçar a condição
. A condição de estação (ponto crítico com restrição) é que as derivadas parciais de
em relação a
e
sejam zero — isso dá um sistema de equações que combina a informação de
e da restrição. Geometricamente, essa condição equivale a dizer que o gradiente de
é paralelo ao gradiente de
no ponto crítico, ou seja,
.
Passo 3
Escrevendo explicitamente
para o nosso caso:
Agora calculamos as derivadas parciais e as igualamos a zero (condições de estação):
Derivadas parciais:
Derivadas parciais:
Igualando cada uma a zero obtemos o sistema
Passo 4
Resolver o sistema: das três primeiras equações expressamos
em função de
.
Da primeira:
Da primeira:
Da segunda:
Da terceira:
Agora substituímos essas expressões na equação da restrição (a quarta equação).
Passo 5
Substituindo
em função de
na restrição:
Calcule passo a passo os termos:
Somando os coeficientes de
:
. Então
Portanto
Passo 6
Com
voltamos às expressões de
:
Verificação rápida (útil na prova): checar a restrição
ok.
Passo 7
Interpretação do resultado e natureza do ponto crítico: a função
é estritamente convexa (é soma de quadrados, matriz Hessiana positiva definida), e a restrição é uma hipersuperfície linear. Portanto qualquer ponto crítico único obtido pelo método de Lagrange é o mínimo global sujeito à restrição. Assim o ponto encontrado é o mínimo de
sobre o plano
. Podemos também calcular o valor mínimo: