Use os multiplicadores de Lagrange para determinar os pontos criticos da funçăo f(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2} com a restrição x+3 y-2 z=4.

Passo 1

O enunciado dá a função f e uma restrição linear, e pede os pontos críticos de f sujeitos a essa restrição. Dados e objetivo:
f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}
Restrição:
x+3y-2z=4.
Pergunta: determinar os pontos (x,y,z) que são críticos de f quando obrigados a satisfazer a restrição acima.

Passo 2

Introduzindo a ideia-chave (o cerne do método que vamos aplicar): para encontrar extremos de uma função sujeita a uma restrição g(x,y,z)=0 é conveniente formar a função de Lagrange \mathcal{L}, que combina a função objetivo e a restrição com um multiplicador \lambda. Aqui definimos a função de restrição
g(x,y,z)=x+3y-2z-4,
que é zero exatamente quando a restrição é satisfeita. A função de Lagrange é
\mathcal{L}(x,y,z,\lambda)=f(x,y,z)-\lambda\,g(x,y,z).
Explicação didática: o multiplicador \lambda é um número que ajustamos para forçar a condição g=0. A condição de estação (ponto crítico com restrição) é que as derivadas parciais de \mathcal{L} em relação a x,y,z e \lambda sejam zero — isso dá um sistema de equações que combina a informação de f e da restrição. Geometricamente, essa condição equivale a dizer que o gradiente de f é paralelo ao gradiente de g no ponto crítico, ou seja, \nabla f=\lambda \nabla g.

Passo 3

Escrevendo explicitamente \mathcal{L} para o nosso caso:
\mathcal{L}(x,y,z,\lambda)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-\lambda\,(x+3y-2z-4).
Agora calculamos as derivadas parciais e as igualamos a zero (condições de estação):
Derivadas parciais:
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x}=2x-\lambda,
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y}=2y-3\lambda,
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial z}=2z+2\lambda,
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda}=-(x+3y-2z-4).
Igualando cada uma a zero obtemos o sistema
2x-\lambda=0,
2y-3\lambda=0,
2z+2\lambda=0,
x+3y-2z-4=0.

Passo 4

Resolver o sistema: das três primeiras equações expressamos x,y,z em função de \lambda.
Da primeira:
2x-\lambda=0 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{\lambda}{2}.
Da segunda:
2y-3\lambda=0 \quad\Rightarrow\quad y=\frac{3\lambda}{2}.
Da terceira:
2z+2\lambda=0 \quad\Rightarrow\quad z=-\lambda.
Agora substituímos essas expressões na equação da restrição (a quarta equação).

Passo 5

Substituindo x,y,z em função de \lambda na restrição:
x+3y-2z-4=0
\frac{\lambda}{2}+3\cdot\frac{3\lambda}{2}-2\cdot(-\lambda)-4=0.
Calcule passo a passo os termos:
\frac{\lambda}{2}+\frac{9\lambda}{2}+2\lambda-4=0.
Somando os coeficientes de \lambda: \frac{\lambda}{2}+\frac{9\lambda}{2}=\frac{10\lambda}{2}=5\lambda. Então
5\lambda+2\lambda-4=0 \quad\Rightarrow\quad 7\lambda-4=0.
Portanto
\lambda=\frac{4}{7}.

Passo 6

Com \lambda=\frac{4}{7} voltamos às expressões de x,y,z:
x=\frac{\lambda}{2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{7}=\frac{2}{7},
y=\frac{3\lambda}{2}=\frac{3}{2}\cdot\frac{4}{7}=\frac{12}{14}=\frac{6}{7},
z=-\lambda=-\frac{4}{7}.
Verificação rápida (útil na prova): checar a restrição
x+3y-2z=\frac{2}{7}+3\cdot\frac{6}{7}-2\cdot\left(-\frac{4}{7}\right)=\frac{2+18+8}{7}=\frac{28}{7}=4,
ok.

Passo 7

Interpretação do resultado e natureza do ponto crítico: a função f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2} é estritamente convexa (é soma de quadrados, matriz Hessiana positiva definida), e a restrição é uma hipersuperfície linear. Portanto qualquer ponto crítico único obtido pelo método de Lagrange é o mínimo global sujeito à restrição. Assim o ponto encontrado é o mínimo de f sobre o plano x+3y-2z=4. Podemos também calcular o valor mínimo:
f\!\left(\frac{2}{7},\frac{6}{7},-\frac{4}{7}\right)=\frac{4+36+16}{49}=\frac{56}{49}=\frac{8}{7}.

Resposta

\left(\dfrac{2}{7},\dfrac{6}{7},-\dfrac{4}{7}\right)

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