\mathbf{Q} \mid \mathbf{C} (a) Tendo \overrightarrow{\mathbf{A}}=(6,00 \hat{\mathbf{i}}-8,00 \hat{\mathbf{j}}) unidades, \overrightarrow{\mathbf{B}}= (-8,00 \hat{\mathbf{i}}+3,00 \hat{\mathbf{j}}) unidades e \overrightarrow{\mathbf{C}}=(26,0 \hat{\mathbf{i}}+19,0 \hat{\mathbf{j}}) unidades, determine a e b de modo que a \overrightarrow{\mathbf{A}}+b \overrightarrow{\mathbf{B}}+\overrightarrow{\mathbf{C}}=0. (b) Um aluno aprendeu que uma única equação não pode ser resolvida para determinar valores para mais de uma incógnita. Como você explicaria a ele que a e b podem ser determinados pela única equação utilizada na parte (a)?
Passo 1
O enunciado pede para achar escalares a e b tais que\r
onde \overrightarrow{A}=(6,00\,\hat{\imath}-8,00\,\hat{\jmath}), \overrightarrow{B}=(-8,00\,\hat{\imath}+3,00\,\hat{\jmath}) e \overrightarrow{C}=(26,0\,\hat{\imath}+19,0\,\hat{\jmath}). O conteúdo aqui é álgebra vetorial e resolução de sistema linear usando componentes do vetor.
Passo 2
Escrevemos a equação vetorial e decompondo em componentes \hat{\imath} (eixo x) e \hat{\jmath} (eixo y):\r
Resolvendo por combinação linear: multiplicamos a primeira equação por 3\) e a segunda por \(8\):\r
\[\begin{cases} 18a-24b=-78,\\\\ -64a+24b=-152. \end{cases}\r
Somando-as:
-46a=-230\quad\Longrightarrow\quad a=5.\r
Substituindo em (6a-8b+26=0]: 6\cdot5-8b+26=0\quad\Longrightarrow\quad 30+26=8b\quad\Longrightarrow\quad b=7.
Passo 5
Concluímos que
a=5, \qquad b=7.
Passo 6
Em termos de equações, a “única” equação vetorial gera duas equações escalares independentes (uma para cada componente do vetor). Assim há duas incógnitas e, de fato, duas equações para determiná-las.
Resposta
(a) a=5,\;b=7. \r
(b) A igualdade vetorial em \mathbb{R}^2 equivale a duas igualdades escalares (em x e em y), ou seja, transformamos a “única” equação vetorial num sistema de duas equações lineares independentes que permitem resolver a e b.