(
) Utilize o método do fator integrante para resolver o seguinte Problema de Valor Inicial (PVI):
Passo 1
O enunciado pede que resolvamos o Problema de Valor Inicial
Informações dadas:
Observação útil: a equação envolve divisão por
para colocá-la em forma padrão, portanto precisamos trabalhar em um intervalo onde
. Como a condição inicial é em
, é natural tomar o domínio com
.
Passo 2
Vamos colocar a equação na forma linear padrão
. Dividindo a equação original por
(válido pois
) obtemos
Aqui
e
.
Explicação do método do fator integrante (mini-aula):
- Para uma equação linear de primeira ordem
, procuramos uma função (fator integrante) tal que, ao multiplicar a equação por , o lado esquerdo se torne a derivada do produto . - A condição que garante isso é
, cuja solução é
- Depois de multiplicar por
, a equação fica , que integramos diretamente para achar .
Passo 3
Calculemos o fator integrante:
Como estamos interessados em
(pela condição inicial em
), temos
. Portanto escolhemos
Passo 4
Multiplicamos a forma padrão por
:
O lado esquerdo simplifica para
que, se lembrarmos de derivadas de produtos, é exatamente a derivada de
:
Assim a equação multiplicada fica
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é
e a do direito é
mais constante, logo
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Isolamos
:
Agora aplicamos a condição inicial
:
Passo 7
Substituímos
na expressão geral para obter a solução particular que satisfaz o PVI:
Pequeno reforço: aqui deixei explícito o domínio
porque na etapa em que dividimos por
supusemos
, e a condição inicial fixa o intervalo com
.