( \mathbf{0 , 2 5 ~ p t} ) Utilize o método do fator integrante para resolver o seguinte Problema de Valor Inicial (PVI):
x y^{\prime}+y=e^{x}, \quad y(1)=2

Passo 1

O enunciado pede que resolvamos o Problema de Valor Inicial
x\,y^{\prime}+y=e^{x},\qquad y(1)=2.
Informações dadas:
\text{E1: }x\,y^{\prime}+y=e^{x}.
\text{E2: }y(1)=2.
Observação útil: a equação envolve divisão por x para colocá-la em forma padrão, portanto precisamos trabalhar em um intervalo onde x\neq 0. Como a condição inicial é em x=1, é natural tomar o domínio com x>0.

Passo 2

Vamos colocar a equação na forma linear padrão y'+P(x)\,y=Q(x). Dividindo a equação original por x (válido pois x\neq0) obtemos
y^{\prime}+\frac{1}{x}\,y=\frac{e^{x}}{x}.
Aqui P(x)=\dfrac{1}{x} e Q(x)=\dfrac{e^{x}}{x}.
Explicação do método do fator integrante (mini-aula):
  • Para uma equação linear de primeira ordem y'+P(x)\,y=Q(x), procuramos uma função \mu(x) (fator integrante) tal que, ao multiplicar a equação por \mu(x), o lado esquerdo se torne a derivada do produto \mu(x)\,y.
  • A condição que garante isso é \mu'(x)=\mu(x)\,P(x), cuja solução é
\mu(x)=\exp\!\Big(\int P(x)\,dx\Big).
  • Depois de multiplicar por \mu, a equação fica (\mu y)'=\mu Q, que integramos diretamente para achar y.

Passo 3

Calculemos o fator integrante:
\mu(x)=\exp\!\Big(\int \frac{1}{x}\,dx\Big)=\exp(\ln\lvert x\rvert)=\lvert x\rvert.
Como estamos interessados em x>0 (pela condição inicial em x=1), temos \lvert x\rvert=x. Portanto escolhemos
\mu(x)=x.

Passo 4

Multiplicamos a forma padrão por \mu(x)=x:
x\left(y^{\prime}+\frac{1}{x}y\right)=x\cdot\frac{e^{x}}{x}.
O lado esquerdo simplifica para
x y^{\prime}+y,
que, se lembrarmos de derivadas de produtos, é exatamente a derivada de x y:
(xy)'=x y'+y.
Assim a equação multiplicada fica
(xy)'=e^{x}.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
\int (xy)'\,dx=\int e^{x}\,dx.
A integral do lado esquerdo é xy e a do direito é e^{x} mais constante, logo
x y = e^{x}+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Isolamos y:
y=\frac{e^{x}+C}{x}.
Agora aplicamos a condição inicial y(1)=2:
2=\frac{e^{1}+C}{1}\quad\Rightarrow\quad C=2-e.

Passo 7

Substituímos C na expressão geral para obter a solução particular que satisfaz o PVI:
y(x)=\frac{e^{x}+2-e}{x},\qquad x>0.
Pequeno reforço: aqui deixei explícito o domínio x>0 porque na etapa em que dividimos por x supusemos x\neq0, e a condição inicial fixa o intervalo com x>0.

Resposta

y(x)=\dfrac{e^{x}+2-e}{x},\;x>0

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