Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
(y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}-2 y=0)

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial
y'' - 2y' - 2y = 0.
Informações dadas: a incógnita é a função y (função de uma variável, que chamo de x); a equação envolve y, sua primeira derivada y' e sua segunda derivada y''. A tarefa é determinar todas as funções y(x) que satisfazem essa igualdade para todo x do domínio considerado (solução geral, com constantes arbitrárias).

Passo 2

Ideia de resolução (passo inicial prático): tentar uma solução da forma exponencial \;y=e^{rx}\; com r constante. Por que isso ajuda? Porque as derivadas de e^{rx} são múltiplos de e^{rx}: y'=r e^{rx} e y''=r^2 e^{rx}. Substituindo essas expressões na equação dada obtemos uma condição apenas em r, que é uma equação algébrica (mais simples de resolver). Agora faço a substituição:
y''-2y'-2y = r^2 e^{rx} - 2 r e^{rx} - 2 e^{rx}.

Passo 3

Factorizando e^{rx} (que nunca é zero), obtemos a chamada equação característica
e^{rx}\bigl(r^2 - 2r - 2\bigr)=0
logo a condição para r é
r^2 - 2r - 2 = 0.
Esta é uma equação quadrática. Vou resolvê-la com a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Para a equação \;ar^2+br+c=0\; a solução é \;r=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\;. Aqui a=1, b=-2, c=-2. Aplicando:
r = \frac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot1\cdot(-2)}}{2\cdot1} = \frac{2\pm\sqrt{4+8}}{2} = \frac{2\pm\sqrt{12}}{2}.

Passo 4

Simplificando \sqrt{12}=\;2\sqrt{3}, obtemos
r = \frac{2\pm 2\sqrt{3}}{2} = 1\pm\sqrt{3}.
Assim temos duas raízes reais e distintas:
r_1 = 1+\sqrt{3},\qquad r_2 = 1-\sqrt{3}.

Passo 5

Quando a equação característica tem duas raízes reais distintas r_1 e r_2, as funções e^{r_1 x} e e^{r_2 x} são soluções independentes da equação diferencial linear homogênea, e pela propriedade de superposição a solução geral é a combinação linear delas com constantes arbitrárias. Portanto a forma geral da solução é
y(x) = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x},
onde C_1 e C_2 são constantes reais arbitrárias (determinaríamos C_1,C_2 se houvesse condições iniciais).

Passo 6

Verificação rápida (para ter certeza): calcule y' e y'' para a solução proposta:
y' = C_1 r_1 e^{r_1 x} + C_2 r_2 e^{r_2 x}, \qquad y'' = C_1 r_1^2 e^{r_1 x} + C_2 r_2^2 e^{r_2 x}.
Substituindo na combinação y''-2y'-2y obtemos
C_1 e^{r_1 x}(r_1^2-2r_1-2) + C_2 e^{r_2 x}(r_2^2-2r_2-2),
e cada parêntese é zero porque r_1 e r_2 satisfazem a equação característica. Logo a expressão é zero e a solução está correta.

Resposta

y(x)=C_1 e^{(1+\sqrt{3})x}+C_2 e^{(1-\sqrt{3})x}

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