Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
(y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}-2 y=0)
(y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}-2 y=0)
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial
Informações dadas: a incógnita é a função
(função de uma variável, que chamo de
); a equação envolve
, sua primeira derivada
e sua segunda derivada
. A tarefa é determinar todas as funções
que satisfazem essa igualdade para todo
do domínio considerado (solução geral, com constantes arbitrárias).
Passo 2
Ideia de resolução (passo inicial prático): tentar uma solução da forma exponencial
com
constante. Por que isso ajuda? Porque as derivadas de
são múltiplos de
:
e
. Substituindo essas expressões na equação dada obtemos uma condição apenas em
, que é uma equação algébrica (mais simples de resolver). Agora faço a substituição:
Passo 3
Factorizando
(que nunca é zero), obtemos a chamada equação característica
logo a condição para
é
Esta é uma equação quadrática. Vou resolvê-la com a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Para a equação
a solução é
. Aqui
,
,
. Aplicando:
Passo 4
Simplificando
, obtemos
Assim temos duas raízes reais e distintas:
Passo 5
Quando a equação característica tem duas raízes reais distintas
e
, as funções
e
são soluções independentes da equação diferencial linear homogênea, e pela propriedade de superposição a solução geral é a combinação linear delas com constantes arbitrárias. Portanto a forma geral da solução é
onde
e
são constantes reais arbitrárias (determinaríamos
se houvesse condições iniciais).
Passo 6
Verificação rápida (para ter certeza): calcule
e
para a solução proposta:
Substituindo na combinação
obtemos
e cada parêntese é zero porque
e
satisfazem a equação característica. Logo a expressão é zero e a solução está correta.