(0,25 pt) Utilize o método do fator integrante para resolver a Equação Diferencial:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para encontrar a solução geral
. As informações relevantes são: o coeficiente de
é
, o termo que multiplica
é
e o termo independente é
. Não há condições iniciais fornecidas, então devemos obter a solução geral com constante arbitrária.
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem facilita o uso do método solicitado. Dividimos toda a equação por
para isolar
. Fazendo isso obtemos
Aqui podemos identificar, para usar o método do fator integrante mais adiante, que o coeficiente de
é
e o lado direito é
. Vou explicar o que significa cada coisa:
é a derivada de
em relação a
;
é a função que multiplica
;
é a função do lado direito que não depende de
.
Passo 3
Agora explico o porquê do fator integrante. Para resolver equações da forma
procura-se uma função
(o fator integrante) tal que, ao multiplicar a equação por
, o lado esquerdo fique exatamente como a derivada do produto
. Pela regra do produto,
Queremos que
, pois assim o lado esquerdo após multiplicar será
. Essa condicional dá uma equação separável para
:
Integrando ambos os lados obtemos
e, escolhendo a constante zero (qualquer constante multiplicativa no fator integrante só muda a constante final da solução), pegamos
Isso é a fórmula prática do fator integrante.
Passo 4
Aplicando o passo anterior ao nosso caso, temos
. Então
Vou usar exatamente esse
. Observação: multiplicar por uma constante multiplicativa em
não altera a solução final (só muda a constante de integração), por isso escolhemos a forma mais simples
.
Passo 5
Multiplicamos a equação padronizada por
. A equação padronizada era
. Multiplicando por
obtemos
Pelo raciocínio do fator integrante, o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
. Ou seja,
Passo 6
Integramos ambos os lados em relação a
. Assim,
O lado esquerdo integra diretamente para
. No lado direito, calculamos a integral:
onde
é a constante de integração. Portanto temos
Passo 7
Isolamos
dividindo por
:
Aqui escrevemos a constante arbitrária como
. Essa é a solução geral da equação diferencial. Uma observação prática: o termo
é uma solução particular (solução estacionária) e
é a solução geral da homogênea associada, que decai exponencialmente quando
se
.
Passo 8
Verificação rápida (útil para a prova): derivando a solução encontramos
Substituindo na equação original
obtemos
o que confirma que a solução encontrada satisfaz a equação.