(0,25 pt) Utilize o método do fator integrante para resolver a Equação Diferencial:
3 \frac{d y}{d x}+12 y=4

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
3\frac{dy}{dx}+12y=4
e pede para encontrar a solução geral y(x). As informações relevantes são: o coeficiente de \frac{dy}{dx} é 3, o termo que multiplica y é 12 e o termo independente é 4. Não há condições iniciais fornecidas, então devemos obter a solução geral com constante arbitrária.

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem facilita o uso do método solicitado. Dividimos toda a equação por 3 para isolar \frac{dy}{dx}. Fazendo isso obtemos
\frac{dy}{dx}+4y=\frac{4}{3}.
Aqui podemos identificar, para usar o método do fator integrante mais adiante, que o coeficiente de y é P(x)=4 e o lado direito é Q(x)=\tfrac{4}{3}. Vou explicar o que significa cada coisa: \frac{dy}{dx} é a derivada de y em relação a x; P(x) é a função que multiplica y; Q(x) é a função do lado direito que não depende de \frac{dy}{dx}.

Passo 3

Agora explico o porquê do fator integrante. Para resolver equações da forma
\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)
procura-se uma função \mu(x) (o fator integrante) tal que, ao multiplicar a equação por \mu(x), o lado esquerdo fique exatamente como a derivada do produto \mu(x)y. Pela regra do produto,
\frac{d}{dx}\big(\mu(x)y\big)=\mu(x)\frac{dy}{dx}+\mu'(x)y.
Queremos que \mu'(x)=\mu(x)P(x), pois assim o lado esquerdo após multiplicar será \mu(x)\frac{dy}{dx}+\mu(x)P(x)y=\frac{d}{dx}(\mu y). Essa condicional dá uma equação separável para \mu:
\frac{\mu'(x)}{\mu(x)}=P(x).
Integrando ambos os lados obtemos
\ln\mu(x)=\int P(x)\,dx + \text{constante},
e, escolhendo a constante zero (qualquer constante multiplicativa no fator integrante só muda a constante final da solução), pegamos
\mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}.
Isso é a fórmula prática do fator integrante.

Passo 4

Aplicando o passo anterior ao nosso caso, temos P(x)=4. Então
\mu(x)=e^{\int 4\,dx}=e^{4x}.
Vou usar exatamente esse \mu(x). Observação: multiplicar por uma constante multiplicativa em \mu não altera a solução final (só muda a constante de integração), por isso escolhemos a forma mais simples e^{4x}.

Passo 5

Multiplicamos a equação padronizada por \mu(x)=e^{4x}. A equação padronizada era \frac{dy}{dx}+4y=\frac{4}{3}. Multiplicando por e^{4x} obtemos
e^{4x}\frac{dy}{dx}+4e^{4x}y=\frac{4}{3}e^{4x}.
Pelo raciocínio do fator integrante, o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto e^{4x}y. Ou seja,
\frac{d}{dx}\big(e^{4x}y\big)=\frac{4}{3}e^{4x}.

Passo 6

Integramos ambos os lados em relação a x. Assim,
\int \frac{d}{dx}\big(e^{4x}y\big)\,dx=\int \frac{4}{3}e^{4x}\,dx.
O lado esquerdo integra diretamente para e^{4x}y. No lado direito, calculamos a integral:
\int \frac{4}{3}e^{4x}\,dx=\frac{4}{3}\int e^{4x}\,dx=\frac{4}{3}\cdot\frac{1}{4}e^{4x}+\!C=\frac{1}{3}e^{4x}+C,
onde C é a constante de integração. Portanto temos
e^{4x}y=\frac{1}{3}e^{4x}+C.

Passo 7

Isolamos y dividindo por e^{4x}:
y=\frac{1}{3}+Ce^{-4x}.
Aqui escrevemos a constante arbitrária como C. Essa é a solução geral da equação diferencial. Uma observação prática: o termo \tfrac{1}{3} é uma solução particular (solução estacionária) e Ce^{-4x} é a solução geral da homogênea associada, que decai exponencialmente quando x\to+\infty se C\neq0.

Passo 8

Verificação rápida (útil para a prova): derivando a solução encontramos
\frac{dy}{dx}=-4Ce^{-4x}.
Substituindo na equação original 3\frac{dy}{dx}+12y obtemos
3(-4Ce^{-4x})+12\Big(\frac{1}{3}+Ce^{-4x}\Big)=-12Ce^{-4x}+4+12Ce^{-4x}=4,
o que confirma que a solução encontrada satisfaz a equação.

Resposta

y(x)=\dfrac{1}{3}+Ce^{-4x}

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