( \mathbf{1 , 0} ponto) Determine os pontos críticos da função abaixo, indicando se são máximos ou mínimos locais, ou pontos de sela.
f(x, y)=e^{y}\left(y^{2}-x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=e^{y}\left(y^{2}-x^{2}\right)
e pede que se determinem os pontos críticos e que se indique, para cada um, se é máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é explícita em termos de x e y.
  • Deve-se encontrar pontos críticos (onde o gradiente é nulo) e classificá-los.
As perguntas claras são:
  • Quais são os pontos críticos (x,y) de f?
  • Para cada ponto crítico, qual é a natureza: máximo local, mínimo local ou ponto de sela?

Passo 2

Primeiro passo técnico: calcular as derivadas parciais primeiras \partial f/\partial x e \partial f/\partial y (o gradiente). Explicando a ideia: pontos críticos são soluções do sistema
\frac{\partial f}{\partial x}=0,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=0.
Aqui a notação:
  • \frac{\partial f}{\partial x} significa a taxa de variação de f em relação a x mantendo y fixo.
  • \frac{\partial f}{\partial y} significa a taxa de variação de f em relação a y mantendo x fixo.
Calculemos as derivadas. Usamos a regra do produto e que \frac{d}{dy}e^{y}=e^{y}.
Derivada em relação a x:
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\!\bigl(e^{y}(y^{2}-x^{2})\bigr)=e^{y}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(y^{2}-x^{2})=e^{y}\cdot(-2x)=-2x\,e^{y}.
Derivada em relação a y:
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\!\bigl(e^{y}(y^{2}-x^{2})\bigr)=e^{y}(y^{2}-x^{2})+e^{y}\cdot(2y)=e^{y}\bigl(y^{2}+2y-x^{2}\bigr).
Observação útil: e^{y}>0 para todo y, então ao resolver igualdades com fatores e^{y} podemos, quando conveniente, dividir por e^{y} sem mudar as soluções.

Passo 3

Resolver o sistema \frac{\partial f}{\partial x}=0 e \frac{\partial f}{\partial y}=0.
Da primeira equação:
-2x\,e^{y}=0 \quad\Rightarrow\quad -2x=0 \quad\Rightarrow\quad x=0,
pois e^{y}\neq 0.
Substituindo x=0 na segunda equação:
e^{y}\bigl(y^{2}+2y-0\bigr)=0 \quad\Rightarrow\quad y^{2}+2y=0.
Resolver y^{2}+2y=0 por fatoração:
y(y+2)=0 \quad\Rightarrow\quad y=0 \quad\text{ou}\quad y=-2.
Portanto os pontos críticos são
(0,0)\quad\text{e}\quad(0,-2).

Passo 4

Agora precisamos classificar cada ponto crítico. Método padrão: usar a matriz Hessiana (matriz das segundas derivadas) e o teste das derivadas segundas para funções de duas variáveis.
Explicando a ideia do teste (intuição):
  • Seja f_{xx}=\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}, f_{yy}=\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}, f_{xy}=\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}.
  • Definimos D=f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^{2} no ponto crítico.
    • Se D>0 e f_{xx}>0: mínimo local.
    • Se D>0 e f_{xx}<0: máximo local.
    • Se D<0: ponto de sela.
    • Se D=0: teste inconclusivo (seria preciso outra análise).
      Essa regra vem de estudar a forma quadrática dada pela série de Taylor de segunda ordem ao redor do ponto crítico.

Passo 5

Calcular as segundas derivadas (componentes da Hessiana). Já temos as primeiras derivadas:
f_x=-2x\,e^{y},\qquad f_y=e^{y}\bigl(y^{2}+2y-x^{2}\bigr).
Agora:
f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}(-2x\,e^{y})=-2\,e^{y},
f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}(-2x\,e^{y})=-2x\,e^{y},
f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}\!\bigl[e^{y}(y^{2}+2y-x^{2})\bigr]=e^{y}(y^{2}+2y-x^{2})+e^{y}(2y+2).
Simplificando f_{yy}:
f_{yy}=e^{y}\bigl(y^{2}+2y-x^{2}+2y+2\bigr)=e^{y}\bigl(y^{2}+4y+2-x^{2}\bigr).
Resumo das segundas derivadas:
f_{xx}=-2e^{y},\qquad f_{xy}=-2x\,e^{y},\qquad f_{yy}=e^{y}\bigl(y^{2}+4y+2-x^{2}\bigr).

Passo 6

Avaliar as segundas derivadas nos pontos críticos e calcular D.
Primeiro ponto crítico (0,0). Aqui e^{y}=e^{0}=1, x=0, y=0.
f_{xx}(0,0)=-2\cdot1=-2,
f_{xy}(0,0)=-2\cdot0\cdot1=0,
f_{yy}(0,0)=1\cdot\bigl(0^{2}+4\cdot0+2-0^{2}\bigr)=2.
Determinante
D(0,0)=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^{2}=(-2)\cdot 2 - 0^{2}=-4<0.
Como D<0, pelo teste das derivadas segundas (0,0) é um ponto de sela.

Passo 7

Segundo ponto crítico (0,-2). Aqui e^{y}=e^{-2}, x=0, y=-2.
Calculemos cada termo:
f_{xx}(0,-2)=-2e^{-2},
f_{xy}(0,-2)=-2\cdot 0\cdot e^{-2}=0,
\text{avaliando }y^{2}+4y+2-x^{2}\text{ com }y=-2,x=0:
y^{2}+4y+2-x^{2}=(-2)^{2}+4(-2)+2-0=4-8+2=-2.
Portanto
f_{yy}(0,-2)=e^{-2}\cdot(-2)=-2e^{-2}.
Determinante
D(0,-2)=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^{2}=(-2e^{-2})\cdot(-2e^{-2})-0^{2}=4e^{-4}>0.
Como D>0 e f_{xx}(0,-2)=-2e^{-2}<0, o teste diz que (0,-2) é um máximo local.

Passo 8

Resumo e interpretação final (rápida intuição):
  • Em (0,0) o determinante negativo significa que a forma quadrática de segunda ordem tem sinais opostos nas direções principais — por isso tem colina numa direção e vale num vale noutra: ponto de sela.
  • Em (0,-2) o determinante positivo e f_{xx}<0 significam que a forma quadrática é negativa definida localmente — a função cai em todas as direções a partir do ponto: máximo local.

Resposta

(0,0) — ponto de sela.
(0,-2) — máximo local.

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