(
ponto) Determine os pontos críticos da função abaixo, indicando se são máximos ou mínimos locais, ou pontos de sela.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que se determinem os pontos críticos e que se indique, para cada um, se é máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
Informações relevantes fornecidas:
- A função é explícita em termos de
e . - Deve-se encontrar pontos críticos (onde o gradiente é nulo) e classificá-los.
As perguntas claras são:
- Quais são os pontos críticos
de ? - Para cada ponto crítico, qual é a natureza: máximo local, mínimo local ou ponto de sela?
Passo 2
Primeiro passo técnico: calcular as derivadas parciais primeiras
e
(o gradiente). Explicando a ideia: pontos críticos são soluções do sistema
Aqui a notação:
-
significa a taxa de variação de em relação a mantendo fixo. -
significa a taxa de variação de em relação a mantendo fixo.
Calculemos as derivadas. Usamos a regra do produto e que
.
Derivada em relação a
:
Derivada em relação a
:
Observação útil:
para todo
, então ao resolver igualdades com fatores
podemos, quando conveniente, dividir por
sem mudar as soluções.
Passo 3
Resolver o sistema
e
.
Da primeira equação:
pois
.
Substituindo
na segunda equação:
Resolver
por fatoração:
Portanto os pontos críticos são
Passo 4
Agora precisamos classificar cada ponto crítico. Método padrão: usar a matriz Hessiana (matriz das segundas derivadas) e o teste das derivadas segundas para funções de duas variáveis.
Explicando a ideia do teste (intuição):
- Seja
, , . - Definimos
no ponto crítico. - Se
e : mínimo local. - Se
e : máximo local. - Se
: ponto de sela. - Se
: teste inconclusivo (seria preciso outra análise).
Essa regra vem de estudar a forma quadrática dada pela série de Taylor de segunda ordem ao redor do ponto crítico.
- Se
Passo 5
Calcular as segundas derivadas (componentes da Hessiana). Já temos as primeiras derivadas:
Agora:
Simplificando
:
Resumo das segundas derivadas:
Passo 6
Avaliar as segundas derivadas nos pontos críticos e calcular
.
Primeiro ponto crítico
. Aqui
,
,
.
Determinante
Como
, pelo teste das derivadas segundas
é um ponto de sela.
Passo 7
Segundo ponto crítico
. Aqui
,
,
.
Calculemos cada termo:
Calculemos cada termo:
Portanto
Determinante
Como
e
, o teste diz que
é um máximo local.
Passo 8
Resumo e interpretação final (rápida intuição):
- Em
o determinante negativo significa que a forma quadrática de segunda ordem tem sinais opostos nas direções principais — por isso tem colina numa direção e vale num vale noutra: ponto de sela. - Em
o determinante positivo e significam que a forma quadrática é negativa definida localmente — a função cai em todas as direções a partir do ponto: máximo local.