(
ponto) Dada a função a seguir, determine
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar
, isto é, a derivada parcial mista de terceira ordem obtida ao derivar primeiro em
, depois em
e por fim em
. As informações relevantes são:
- A função é soma de dois termos: um termo que depende apenas de
e , e um termo que depende de , - O objetivo é calcular
.
Passo 2
Explicando a notação e a estratégia de forma didática e concreta:
- Por definição,
significa . Ou seja, derivar em , depois em sobre o resultado e por fim em . - Uma observação chave: se um termo da função não depende de
, então sua derivada parcial em é zero. Logo, qualquer parte de que não dependa de terá derivada nula ao derivar em . - Vou calcular
, depois e então tomar a derivada em . Também vou mostrar que a contribuição do termo logarítmico se anula ao aplicar a sequência de derivadas.
Passo 3
Calcule
separando os termos
e
.
- Para
é conveniente usar a propriedade do logaritmo: Derivando em : Note que não depende de nem de . - Para
vamos aplicar a regra da cadeia em três níveis. Seja Então por cadeia: onde (derivada de ), e . Substituindo:
Simplificando os coeficientes
, obtemos
Importante: essa expressão depende de
e
mas não depende de
.
- Portanto
em que é a expressão acima (função de somente).
Passo 4
Calcule
, ou seja, a derivada em
de
.
- Derivando
em : - A segunda parcela
é independente de , logo - A primeira parcela
é alguma expressão obtida aplicando regra da cadeia e produto às funções de e presentes em . O ponto crucial aqui é que depende apenas de e (pois não depende de ). Ou seja, uma função que não contém .
Passo 5
Agora obtenha
derivando
em
.
- Como mostrado,
não depende de . Logo a derivada parcial em é nula: - Alternativamente, pela separação de termos, o termo logarítmico teria contribuído possivelmente em outras ordens de derivada, mas já vimos que
torna , e portanto não há contribuição de para . O termo não depende de , logo também não contribui ao derivar em .