( \mathbf{1 , 0} ponto) Dada a função a seguir, determine g_{x y z}.
g(x, y, z)=\sqrt{\operatorname{tg}^{-1}\left(3 x^{2} y^{6}+y^{5}\right)^{\frac{3}{2}}}+\ln \left(x^{2} y^{4} z^{2}\right)

Passo 1

O enunciado dá a função
g(x,y,z)=\sqrt{\operatorname{tg}^{-1}\!\left(3 x^{2} y^{6}+y^{5}\right)^{\frac{3}{2}}}+\ln\left(x^{2}y^{4}z^{2}\right)
e pede para determinar g_{xyz}, isto é, a derivada parcial mista de terceira ordem obtida ao derivar primeiro em x, depois em y e por fim em z. As informações relevantes são:
  • A função é soma de dois termos: um termo que depende apenas de x e y, A(x,y)=\sqrt{\operatorname{tg}^{-1}\!\left((3x^{2}y^{6}+y^{5})^{3/2}\right)},e um termo que depende de x,y,z, B(x,y,z)=\ln\left(x^{2}y^{4}z^{2}\right).
  • O objetivo é calcular \dfrac{\partial^3 g}{\partial x\partial y\partial z}.

Passo 2

Explicando a notação e a estratégia de forma didática e concreta:
  • Por definição, g_{xyz} significa \dfrac{\partial}{\partial z}\!\left(\dfrac{\partial}{\partial y}\!\left(\dfrac{\partial g}{\partial x}\right)\right). Ou seja, derivar em x, depois em y sobre o resultado e por fim em z.
  • Uma observação chave: se um termo da função não depende de z, então sua derivada parcial em z é zero. Logo, qualquer parte de g_{xy} que não dependa de z terá derivada nula ao derivar em z.
  • Vou calcular g_x, depois g_{xy} e então tomar a derivada em z. Também vou mostrar que a contribuição do termo logarítmico se anula ao aplicar a sequência de derivadas.

Passo 3

Calcule g_x separando os termos A e B.
  • Para B(x,y,z)=\ln\left(x^{2}y^{4}z^{2}\right) é conveniente usar a propriedade do logaritmo: B(x,y,z)=\ln(x^{2})+\ln(y^{4})+\ln(z^{2})=2\ln x + 4\ln y + 2\ln z.Derivando em x: \frac{\partial B}{\partial x} = \frac{d}{dx}(2\ln x)=\frac{2}{x}.Note que \dfrac{2}{x} não depende de y nem de z.
  • Para A(x,y)=\sqrt{\operatorname{tg}^{-1}\!\left((3x^{2}y^{6}+y^{5})^{3/2}\right)} vamos aplicar a regra da cadeia em três níveis. Seja C(x,y)=3x^{2}y^{6}+y^{5},\quad D\text{(C)}=C^{3/2},\quad E(D)=\operatorname{tg}^{-1}(D),\quad A(E)=\sqrt{E}=E^{1/2}.Então por cadeia: A_x=\frac{1}{2}E^{-1/2}\cdot E'_D\cdot D'_C\cdot C_x,onde E'_D=\dfrac{1}{1+D^{2}} (derivada de \operatorname{tg}^{-1}), D'_C=\dfrac{3}{2}C^{1/2} e C_x=6xy^{6}. Substituindo: D=C^{3/2},\qquad C=3x^{2}y^{6}+y^{5},
A_x=\frac{1}{2}\big(\operatorname{tg}^{-1}D\big)^{-1/2}\cdot\frac{1}{1+D^{2}}\cdot\frac{3}{2}C^{1/2}\cdot 6x y^{6}.
Simplificando os coeficientes \frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}\cdot 6 = \frac{1\cdot 3\cdot 6}{2\cdot 2}= \frac{18}{4}= \tfrac{9}{2}, obtemos
A_x=\frac{9}{2}\;x y^{6}\;C^{1/2}\;\frac{1}{\big(\operatorname{tg}^{-1}D\big)^{1/2}}\cdot\frac{1}{1+D^{2}}.
Importante: essa expressão depende de x e y mas não depende de z.
  • Portanto g_x = A_x + \frac{2}{x},em que A_x é a expressão acima (função de x,y somente).

Passo 4

Calcule g_{xy}, ou seja, a derivada em y de g_x.
  • Derivando g_x=A_x+\dfrac{2}{x} em y: g_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}A_x + \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{2}{x}\right).
  • A segunda parcela \dfrac{2}{x} é independente de y, logo \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{2}{x}\right)=0.
  • A primeira parcela \dfrac{\partial}{\partial y}A_x é alguma expressão obtida aplicando regra da cadeia e produto às funções de x e y presentes em A_x. O ponto crucial aqui é que \dfrac{\partial}{\partial y}A_x depende apenas de x e y (pois A não depende de z). Ou seja, g_{xy} = A_{xy}(x,y),uma função que não contém z.

Passo 5

Agora obtenha g_{xyz} derivando g_{xy} em z.
  • Como mostrado, g_{xy}=A_{xy}(x,y) não depende de z. Logo a derivada parcial em z é nula: g_{xyz}=\frac{\partial}{\partial z}\big(g_{xy}\big)=\frac{\partial}{\partial z}A_{xy}(x,y)=0.
  • Alternativamente, pela separação de termos, o termo logarítmico teria contribuído possivelmente em outras ordens de derivada, mas já vimos que B_x=2/x torna B_{xy}=0, e portanto não há contribuição de B para g_{xyz}. O termo A não depende de z, logo também não contribui ao derivar em z.

Resposta

0

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