As funções a seguir são definidas implicitamente. Determine
ou
e
, quando cabível.
Passo 1
O enunciado dá a equação implícita
Pergunta: determinar
, supondo que
é função de
(ou seja,
).
Informações relevantes fornecidas:
- A relação entre
e é dada pela equação acima. - Não há valores numéricos específicos; a tarefa é obter a expressão geral de
.
Passo 2
Estratégia e ferramentas que vamos usar (com explicações didáticas):
- Como
depende de , usaremos diferenciação implícita: derivamos ambos os lados da igualdade em relação a , tratando como . - Regras necessárias:
- Regra do produto: se
e são funções, . - Regra da cadeia: se
, então . Aplicando a , a derivada é , porque .
- Regra do produto: se
- Observação sobre notação: vou escrever
no lugar de , porque em TeX usamos .
Passo 3
Primeiro reescrevo a equação de modo a ter tudo em um lado, igual a zero — isso facilita a diferenciação:
Agora derivamos ambos os membros em relação a
. A derivada do lado direito é
. Derivamos termo a termo o lado esquerdo.
Derivada do primeiro termo
:
- Pelo produto,
- Pela cadeia,
Portanto
Derivada do segundo termo
:
- Pelo produto,
- Pela cadeia,
Portanto
Passo 4
Somando as derivadas dos dois termos e igualando a zero:
Agora vamos agrupar os termos que contêm
e os que não contêm.
Primeiro os termos sem
:
Em seguida, os termos com
:
Então a igualdade fica
Passo 5
Isolando
:
Portanto
Passo 6
Comentários finais e interpretação (curtinho, para te dar segurança):
- A expressão acima é a derivada
da curva implícita dada. - Pontos onde o denominador vale zero são pontos em que a derivada não está bem definida (vertical ou ponto singulare); nesses pontos é preciso analisar caso a caso.
- É possível, em situações concretas, usar a equação original
para simplificar termos em casos específicos, mas a forma geral útil para prova é a que obtivemos.