As funções a seguir são definidas implicitamente. Determine \frac{d y}{d x} ou \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y}, quando cabível.
x^{2} \operatorname{sen}(x+y)=-y^{2} \cos (x+y)

Passo 1

O enunciado dá a equação implícita
x^{2}\operatorname{sen}(x+y)=-y^{2}\cos(x+y).
Pergunta: determinar \dfrac{dy}{dx}, supondo que y é função de x (ou seja, y=y(x)).
Informações relevantes fornecidas:
  • A relação entre x e y é dada pela equação acima.
  • Não há valores numéricos específicos; a tarefa é obter a expressão geral de \dfrac{dy}{dx}.

Passo 2

Estratégia e ferramentas que vamos usar (com explicações didáticas):
  • Como y depende de x, usaremos diferenciação implícita: derivamos ambos os lados da igualdade em relação a x, tratando y como y(x).
  • Regras necessárias:
    1. Regra do produto: se u(x) e v(x) são funções, \dfrac{d}{dx}[u v]=u'v+u v'.
    2. Regra da cadeia: se g(x)=f(h(x)), então g'(x)=f'(h(x))\cdot h'(x). Aplicando a \sin(x+y), a derivada é \cos(x+y)\cdot(1+y'), porque d(x+y)/dx = 1 + y'.
  • Observação sobre notação: vou escrever \sin no lugar de \operatorname{sen}, porque em TeX usamos \sin.

Passo 3

Primeiro reescrevo a equação de modo a ter tudo em um lado, igual a zero — isso facilita a diferenciação:
x^{2}\sin(x+y) + y^{2}\cos(x+y)=0.
Agora derivamos ambos os membros em relação a x. A derivada do lado direito é 0. Derivamos termo a termo o lado esquerdo.
Derivada do primeiro termo x^{2}\sin(x+y):
  • Pelo produto, \dfrac{d}{dx}[x^{2}\sin(x+y)] = 2x\sin(x+y) + x^{2}\cdot \dfrac{d}{dx}[\sin(x+y)].
  • Pela cadeia, \dfrac{d}{dx}[\sin(x+y)] = \cos(x+y)\cdot(1+y').
    Portanto
\dfrac{d}{dx}[x^{2}\sin(x+y)] = 2x\sin(x+y) + x^{2}\cos(x+y)\,(1+y').
Derivada do segundo termo y^{2}\cos(x+y):
  • Pelo produto, \dfrac{d}{dx}[y^{2}\cos(x+y)] = 2y y'\cos(x+y) + y^{2}\cdot \dfrac{d}{dx}[\cos(x+y)].
  • Pela cadeia, \dfrac{d}{dx}[\cos(x+y)] = -\sin(x+y)\,(1+y').
    Portanto
\dfrac{d}{dx}[y^{2}\cos(x+y)] = 2y y'\cos(x+y) - y^{2}\sin(x+y)\,(1+y').

Passo 4

Somando as derivadas dos dois termos e igualando a zero:
\bigl(2x\sin(x+y) + x^{2}\cos(x+y)\,(1+y')\bigr) + \bigl(2y y'\cos(x+y) - y^{2}\sin(x+y)\,(1+y')\bigr) =0.
Agora vamos agrupar os termos que contêm y' e os que não contêm.
Primeiro os termos sem y':
2x\sin(x+y) + x^{2}\cos(x+y) - y^{2}\sin(x+y).
Em seguida, os termos com y':
y'\bigl(x^{2}\cos(x+y) + 2y\cos(x+y) - y^{2}\sin(x+y)\bigr).
Então a igualdade fica
2x\sin(x+y) + x^{2}\cos(x+y) - y^{2}\sin(x+y) + y'\bigl(x^{2}\cos(x+y) + 2y\cos(x+y) - y^{2}\sin(x+y)\bigr)=0.

Passo 5

Isolando y':
y'\bigl(x^{2}\cos(x+y) + 2y\cos(x+y) - y^{2}\sin(x+y)\bigr) = -\bigl(2x\sin(x+y) + x^{2}\cos(x+y) - y^{2}\sin(x+y)\bigr).
Portanto
y'=\frac{-(2x\sin(x+y) + x^{2}\cos(x+y) - y^{2}\sin(x+y))} {\,x^{2}\cos(x+y) + 2y\cos(x+y) - y^{2}\sin(x+y)\,}.

Passo 6

Comentários finais e interpretação (curtinho, para te dar segurança):
  • A expressão acima é a derivada \dfrac{dy}{dx} da curva implícita dada.
  • Pontos onde o denominador vale zero são pontos em que a derivada não está bem definida (vertical ou ponto singulare); nesses pontos é preciso analisar caso a caso.
  • É possível, em situações concretas, usar a equação original \;x^{2}\sin(x+y)=-y^{2}\cos(x+y)\; para simplificar termos em casos específicos, mas a forma geral útil para prova é a que obtivemos.

Resposta

\frac{dy}{dx}= \frac{-(2x\sin(x+y) + x^{2}\cos(x+y) - y^{2}\sin(x+y))} {\,x^{2}\cos(x+y) + 2y\cos(x+y) - y^{2}\sin(x+y)\,}.

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