[ \mathbf{1 , 0} ponto] Para um perfil retangular de altura \mathbf{h}, base \mathbf{b} e área de seção transversal A, submetido a um esforço cortante \mathbf{V}, a tensão de cisalhamento máxima é \mathbf{3 V} / \mathbf{2 A} ? DEMONSTRE!

Passo 1

O enunciado dá um perfil retangular com:
  • base b,
  • altura h,
  • área da seção transversal A (sabemos que A = b h),
  • esforço cortante interno resultante V.
O que se pede: demonstrar que a tensão de cisalhamento máxima no plano da seção é
\tau_{\max}=\frac{3V}{2A}.

Passo 2

Ferramenta que vamos usar (apresentação e significado das grandezas). Para esforços transversais na viga existe a fórmula de cisalhamento estático:
\tau(y)=\frac{V\,Q(y)}{I\,b(y)}.
Explicando cada símbolo de forma bem clara:
  • \tau(y) é a tensão de cisalhamento num ponto cuja coordenada vertical em relação ao centroide é y (positivo para cima, negativo para baixo).
  • V é o esforço cortante resultante que age na seção.
  • Q(y) é o primeiro momento de área da parte da seção situada acima (ou abaixo) da linha que passa em y; é definido por
Q(y)=\int_{\text{parte}} \bar{y}\,dA,
onde \bar{y} é a distância de cada elemento de área dA ao eixo neutro (centroide).
  • I é o momento de inércia da seção em relação ao eixo neutro (eixo horizontal passando pelo centroide).
  • b(y) é a largura da seção na altura y (para um retângulo b(y)=b constante).
Breve intuição física: a fórmula vem do equilíbrio de esforços cortantes aplicados à meia-seção e relaciona o “fluxo de cisalhamento” q=\tau b com o momento gerado pelas tensões normais internas. Não é necessário aqui derivá-la por completo; usamos-a como ferramenta padrão e confiável.

Passo 3

Escolha de sistema de coordenadas e cálculo de Q(y). Coloco a origem no centroide da seção e y medido ao longo da altura, com o topo em y=+h/2 e o fundo em y=-h/2. Para um ponto a uma distância y do centro, tomo a porção acima desse ponto (assumindo y entre -h/2 e +h/2) para definir Q(y). Como a largura é constante b, cada fita horizontal de espessura d\bar{y} tem área dA=b\,d\bar{y} e momento \bar{y}\,dA. Assim:
Q(y)=\int_{y}^{h/2} \bar{y}\,b\,d\bar{y}.
Calculo a integral:
Q(y)=b\left[\frac{\bar{y}^2}{2}\right]_{y}^{h/2}=b\left(\frac{(h/2)^2-y^2}{2}\right)=\frac{b}{2}\left(\frac{h^2}{4}-y^2\right).

Passo 4

Cálculo do momento de inércia I da placa retangular em relação ao eixo neutro (eixo horizontal pelo centroide). Por definição:
I=\int_{-h/2}^{h/2} y^2\,dA=\int_{-h/2}^{h/2} y^2 (b\,dy)=b\left[\frac{y^3}{3}\right]_{-h/2}^{h/2}.
Como y^3 é função ímpar, a diferença é:
I=b\left(\frac{(h/2)^3-(-h/2)^3}{3}\right)=b\left(\frac{2(h/2)^3}{3}\right)=b\left(\frac{2(h^3/8)}{3}\right)=\frac{b h^3}{12}.

Passo 5

Agora substituo Q(y), I e b(y)=b na fórmula de cisalhamento:
\tau(y)=\frac{V\,Q(y)}{I\,b}=\frac{V}{I\,b}\cdot\frac{b}{2}\left(\frac{h^2}{4}-y^2\right).
Corta-se o b e fica
\tau(y)=\frac{V}{2I}\left(\frac{h^2}{4}-y^2\right).
Substituindo I=\dfrac{b h^3}{12} obtemos (mostrando a álgebra passo a passo):
2I=2\cdot\frac{b h^3}{12}=\frac{b h^3}{6},
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\tau(y)=\frac{V}{\,\dfrac{b h^3}{6}\,}\left(\frac{h^2}{4}-y^2\right)=\frac{6V}{b h^3}\left(\frac{h^2}{4}-y^2\right).
Distribuindo,
\tau(y)=\frac{6V}{b h^3}\cdot\frac{h^2}{4}-\frac{6V}{b h^3}y^2 =\frac{3V}{2 b h}-\frac{6V}{b h^3}y^2.

Passo 6

Determinar o máximo de \tau(y). A expressão obtida é
\tau(y)=\frac{3V}{2 b h}-\frac{6V}{b h^3}y^2.
É uma função simétrica em y que diminui com y^2. Portanto o máximo ocorre no centro, y=0. Avaliando em y=0:
\tau_{\max}=\tau(0)=\frac{3V}{2 b h}.
Como A=b h, isso se escreve de forma muito direta como
\tau_{\max}=\frac{3V}{2A}.

Passo 7

Interpretação final e comentário prático (rápido). A tensão média de cisalhamento na seção é \dfrac{V}{A}. Para o retângulo a máxima é 1{,}5 vezes a média:
\tau_{\max}=\frac{3}{2}\cdot\frac{V}{A}.
Isso é útil na prova: para retângulos, a maior fibra sujeita a cisalhamento está no eixo neutro e o fator 3/2 é padrão.

Resposta

\tau_{\max}=\dfrac{3V}{2A}

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