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ponto] Para um perfil retangular de altura
, base
e área de seção transversal A, submetido a um esforço cortante
, a tensão de cisalhamento máxima é
? DEMONSTRE!
Passo 1
O enunciado dá um perfil retangular com:
- base
, - altura
, - área da seção transversal
(sabemos que ), - esforço cortante interno resultante
.
O que se pede: demonstrar que a tensão de cisalhamento máxima no plano da seção é
Passo 2
Ferramenta que vamos usar (apresentação e significado das grandezas). Para esforços transversais na viga existe a fórmula de cisalhamento estático:
Explicando cada símbolo de forma bem clara:
-
é a tensão de cisalhamento num ponto cuja coordenada vertical em relação ao centroide é (positivo para cima, negativo para baixo). -
é o esforço cortante resultante que age na seção. -
é o primeiro momento de área da parte da seção situada acima (ou abaixo) da linha que passa em ; é definido por
onde
é a distância de cada elemento de área
ao eixo neutro (centroide).
-
é o momento de inércia da seção em relação ao eixo neutro (eixo horizontal passando pelo centroide). -
é a largura da seção na altura (para um retângulo constante).
Breve intuição física: a fórmula vem do equilíbrio de esforços cortantes aplicados à meia-seção e relaciona o “fluxo de cisalhamento”
com o momento gerado pelas tensões normais internas. Não é necessário aqui derivá-la por completo; usamos-a como ferramenta padrão e confiável.
Passo 3
Escolha de sistema de coordenadas e cálculo de
. Coloco a origem no centroide da seção e
medido ao longo da altura, com o topo em
e o fundo em
. Para um ponto a uma distância
do centro, tomo a porção acima desse ponto (assumindo
entre
e
) para definir
. Como a largura é constante
, cada fita horizontal de espessura
tem área
e momento
. Assim:
Calculo a integral:
Passo 4
Cálculo do momento de inércia
da placa retangular em relação ao eixo neutro (eixo horizontal pelo centroide). Por definição:
Como
é função ímpar, a diferença é:
Passo 5
Agora substituo
,
e
na fórmula de cisalhamento:
Corta-se o
e fica
Substituindo
obtemos (mostrando a álgebra passo a passo):
logo
Distribuindo,
Passo 6
Determinar o máximo de
. A expressão obtida é
É uma função simétrica em
que diminui com
. Portanto o máximo ocorre no centro,
. Avaliando em
:
Como
, isso se escreve de forma muito direta como
Passo 7
Interpretação final e comentário prático (rápido). A tensão média de cisalhamento na seção é
. Para o retângulo a máxima é
vezes a média:
Isso é útil na prova: para retângulos, a maior fibra sujeita a cisalhamento está no eixo neutro e o fator 3/2 é padrão.