O pilar cilíndrico, com diâmetro de 40 mm , está a ser arrancado do solo usando uma eslinga (corda) de espessura desprezível. Se a corda estiver submetida a uma força vertical \mathrm{P}= 500 N , determine a tensão normal nos pontos A e B. Apresente os resultados num elemento de volume localizado em cada um desses pontos.
(Hibbler 9th ed.)

Passo 1

O enunciado (resumindo) dá as seguintes informações:
  • Diâmetro do pilar cilíndrico: d=40\\ \text{mm}.
  • Força vertical aplicada pela eslinga: P=500\\ \text{N}.
  • Pede-se: determinar a tensão normal nos pontos A e B e apresentar os resultados num elemento de volume em cada ponto.
Como o enunciado refere-se aos pontos A e B sem figura aqui, faço a hipótese padrão (a mesma que costuma aparecer neste tipo de problema do Hibbeler) para poder resolver de forma didática e fornecer respostas úteis:
  • Assumo que o ponto A é um ponto localizado na seção transversal superior do pilar (no centro da seção), de modo que nele atua a tensão axial gerada pela tração P.
  • Assumo que o ponto B é um ponto sobre a superfície lateral do pilar, exatamente sob a eslinga (ponto de contato entre corda e pilar), de modo que nele atua a pressão normal de contato exercida pela corda.
Se as posições reais de A e B no seu enunciado forem diferentes, avise — mas não é necessário para a explicação do método abaixo; a técnica mostrada serve para as posições tipicamente pedidas.

Passo 2

Converter unidades e calcular a área da seção transversal (passo obrigatório para tensão axial).
  • Converter o diâmetro para metros:
d = 40\\ \text{mm} = 0{,}040\\ \text{m}.
  • Raio:
R = \frac{d}{2} = 0{,}020\\ \text{m}.
  • Área da seção circular (área transversal do pilar):
A = \frac{\pi d^{2}}{4}.
Agora calculamos A numericamente, mostrando as contas:
A = \frac{\pi (0{,}040)^{2}}{4} = \pi\cdot 0{,}0004 = 0{,}0004\pi\\ \text{m}^{2}.
Para referência numérica:
A \approx 0{,}0004\times 3{,}14159265 \approx 0{,}001256637\\ \text{m}^{2}.

Passo 3

Cálculo da tensão normal em A (tensão axial simples).
  • Conceito e fórmula: a tensão normal axial média em uma seção causada por uma força axial P é definida por
\sigma = \frac{P}{A},
onde \sigma é a tensão normal (em \text{Pa}=\text{N}/\text{m}^{2}), P é a força axial (em \text{N}) e A é a área da seção transversal (em \text{m}^{2}). Isso vem diretamente da definição de tensão: força dividida pela área sobre a qual a força atua. No caso de tração uniformemente distribuída e seção homogênea, essa é a expressão que usamos em prova (sem pular etapas).
  • Substituindo os valores:
\sigma_{A} = \frac{P}{A} = \frac{500}{0{,}0004\pi}\\ \text{Pa}.
Faço a divisão passo a passo:
0{,}0004\pi \approx 0{,}001256637\\ \text{m}^{2},
\sigma_{A} \approx \frac{500}{0{,}001256637}\\ \text{Pa} \approx 397887{,}36\\ \text{Pa}.
É conveniente escrever em notação mais compacta:
\sigma_{A} \approx 3{,}98\times 10^{5}\\ \text{Pa} = 0{,}398\\ \text{MPa}.
Interpretação de sinal: como a força P puxa o pilar para cima, o ponto A (seção superior) está sob tração; escrevemos o valor como tensão normal de tração.

Passo 4

Cálculo da tensão normal em B (pressão de contato da eslinga sobre a superfície lateral).
  • Ideia física e definição da grandeza que vamos calcular: na região de contato entre uma corda submetida a tensão T (aqui T=P se a corda tem mesma tensão na parte vertical) e um cilindro de raio R, a corda exerce sobre o cilindro uma pressão normal na superfície. Para um cabo ideal (espessura desprezível, sem rigidez à flexão) e tensão aproximadamente constante ao longo do contato, a pressão normal superficial p (tensão normal compressiva sobre a superfície do cilindro) pode ser obtida por equilíbrio de forças num elemento infinitesimal do cabo.
  • Derivação diferencial (passo a passo simples e padrão):
    • Considere um elemento de cabo que envolve o cilindro por um ângulo infinitesimal d\theta. A força radial total exercida sobre esse elemento (por unidade de comprimento axial) é igual à componente radial das tensões nas extremidades do elemento.
    • Para pequenas d\theta a diferença das forças tangenciais fornece uma resultante radial aproximadamente igual a T\,d\theta.
    • A área de superfície desse elemento por unidade de comprimento axial é dA = R\,d\theta.
    • Logo, a pressão (força por unidade de área) é
p = \frac{T\,d\theta}{R\,d\theta}=\frac{T}{R}.
  • Então, a pressão de contato na superfície sob a corda é uniforme e dada por
p = \frac{T}{R}.
  • Aqui p tem unidades \text{N}/\text{m}^{2} (Pa), T é a tensão na corda (N) e R é o raio do cilindro (m). Essa é uma fórmula padrão para o carregamento radial causado por uma corda tensionada em contato com um cilindro (útil nas provas).
  • Substituindo T=P=500\\ \text{N} e R=0{,}020\\ \text{m}:
p = \frac{500}{0{,}020}\\ \text{Pa} = 25000\\ \text{Pa}.
Em notação conveniente:
p = 2{,}50\times 10^{4}\\ \text{Pa} = 0{,}025\\ \text{MPa}.
Interpretação de sinal: esta é uma pressão compressiva sobre a superfície do pilar (ou seja, tensão normal no sentido de comprimir a superfície), portanto pode ser indicada com sinal negativo se adotar a convenção tração positiva / compressão negativa:
\sigma_{B} = -2{,}50\times 10^{4}\\ \text{Pa}.

Passo 5

Observações finais e como memorizar para a prova (dicas de amigo):
  • Para qualquer problema com carga axial simples em uma barra/cilindro, a primeira coisa é sempre calcular \sigma = P/A. Isso resolve o caso do ponto central da seção.
  • Para contato de uma corda tensa com um cilindro sem rigidez à flexão, memorize a relação p=T/R (pressão de contato por unidade de área sobre a superfície). É uma fórmula muito prática e rápida na prova.
  • Note a grande diferença de escala entre as tensões: a tensão axial média \sigma_{A} é da ordem de 10^{5}\\ \text{Pa} (centenas de kPa) enquanto a pressão de contato p é menor aqui (algumas dezenas de kPa). Isso ajuda a interpretar o que domina estruturalmente.

Resposta

\sigma_{A}=3{,}98\times10^{5}\\ \text{Pa} (tração, aproximadamente 0{,}398\\ \text{MPa})
\sigma_{B}=-2{,}50\times10^{4}\\ \text{Pa} (compressão, aproximadamente 0{,}025\\ \text{MPa})

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