O pilar cilíndrico, com diâmetro de 40 mm , está a ser arrancado do solo usando uma eslinga (corda) de espessura desprezível. Se a corda estiver submetida a uma força vertical
500 N , determine a tensão normal nos pontos A e B. Apresente os resultados num elemento de volume localizado em cada um desses pontos.
(Hibbler 9th ed.)
(Hibbler 9th ed.)
Passo 1
O enunciado (resumindo) dá as seguintes informações:
- Diâmetro do pilar cilíndrico:
. - Força vertical aplicada pela eslinga:
. - Pede-se: determinar a tensão normal nos pontos
e e apresentar os resultados num elemento de volume em cada ponto.
Como o enunciado refere-se aos pontos
e
sem figura aqui, faço a hipótese padrão (a mesma que costuma aparecer neste tipo de problema do Hibbeler) para poder resolver de forma didática e fornecer respostas úteis:
- Assumo que o ponto
é um ponto localizado na seção transversal superior do pilar (no centro da seção), de modo que nele atua a tensão axial gerada pela tração . - Assumo que o ponto
é um ponto sobre a superfície lateral do pilar, exatamente sob a eslinga (ponto de contato entre corda e pilar), de modo que nele atua a pressão normal de contato exercida pela corda.
Se as posições reais de
e
no seu enunciado forem diferentes, avise — mas não é necessário para a explicação do método abaixo; a técnica mostrada serve para as posições tipicamente pedidas.
Passo 2
Converter unidades e calcular a área da seção transversal (passo obrigatório para tensão axial).
- Converter o diâmetro para metros:
- Raio:
- Área da seção circular (área transversal do pilar):
Agora calculamos
numericamente, mostrando as contas:
Para referência numérica:
Passo 3
Cálculo da tensão normal em
(tensão axial simples).
- Conceito e fórmula: a tensão normal axial média em uma seção causada por uma força axial
é definida por
onde
é a tensão normal (em
),
é a força axial (em
) e
é a área da seção transversal (em
). Isso vem diretamente da definição de tensão: força dividida pela área sobre a qual a força atua. No caso de tração uniformemente distribuída e seção homogênea, essa é a expressão que usamos em prova (sem pular etapas).
- Substituindo os valores:
Faço a divisão passo a passo:
É conveniente escrever em notação mais compacta:
Interpretação de sinal: como a força
puxa o pilar para cima, o ponto
(seção superior) está sob tração; escrevemos o valor como tensão normal de tração.
Passo 4
Cálculo da tensão normal em
(pressão de contato da eslinga sobre a superfície lateral).
- Ideia física e definição da grandeza que vamos calcular: na região de contato entre uma corda submetida a tensão
(aqui se a corda tem mesma tensão na parte vertical) e um cilindro de raio , a corda exerce sobre o cilindro uma pressão normal na superfície. Para um cabo ideal (espessura desprezível, sem rigidez à flexão) e tensão aproximadamente constante ao longo do contato, a pressão normal superficial (tensão normal compressiva sobre a superfície do cilindro) pode ser obtida por equilíbrio de forças num elemento infinitesimal do cabo. - Derivação diferencial (passo a passo simples e padrão):
- Considere um elemento de cabo que envolve o cilindro por um ângulo infinitesimal
. A força radial total exercida sobre esse elemento (por unidade de comprimento axial) é igual à componente radial das tensões nas extremidades do elemento. - Para pequenas
a diferença das forças tangenciais fornece uma resultante radial aproximadamente igual a . - A área de superfície desse elemento por unidade de comprimento axial é
. - Logo, a pressão (força por unidade de área) é
- Considere um elemento de cabo que envolve o cilindro por um ângulo infinitesimal
- Então, a pressão de contato na superfície sob a corda é uniforme e dada por
- Aqui
tem unidades (Pa), é a tensão na corda (N) e é o raio do cilindro (m). Essa é uma fórmula padrão para o carregamento radial causado por uma corda tensionada em contato com um cilindro (útil nas provas). - Substituindo
e :
Em notação conveniente:
Interpretação de sinal: esta é uma pressão compressiva sobre a superfície do pilar (ou seja, tensão normal no sentido de comprimir a superfície), portanto pode ser indicada com sinal negativo se adotar a convenção tração positiva / compressão negativa:
Passo 5
Observações finais e como memorizar para a prova (dicas de amigo):
- Para qualquer problema com carga axial simples em uma barra/cilindro, a primeira coisa é sempre calcular
. Isso resolve o caso do ponto central da seção. - Para contato de uma corda tensa com um cilindro sem rigidez à flexão, memorize a relação
(pressão de contato por unidade de área sobre a superfície). É uma fórmula muito prática e rápida na prova. - Note a grande diferença de escala entre as tensões: a tensão axial média
é da ordem de (centenas de kPa) enquanto a pressão de contato é menor aqui (algumas dezenas de kPa). Isso ajuda a interpretar o que domina estruturalmente.