7.5 e 7.8) Para o estado de tensão dado, determine (a) os planos principais e (b) as tensões principais.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) determinar os planos principais (ou seja, as orientações dos planos onde a tensão de cisalhamento é zero);
  • (b) determinar as tensões principais (os valores das tensões normais nesses planos).
Informações relevantes que seriam necessárias para resolver numericamente o problema:
  • Para um estado de tensão plana (caso mais comum em exercícios): os componentes \sigma_x, \sigma_y e \tau_{xy} (pegar esses valores do enunciado ou da figura).
  • Se o estado for tridimensional, seriam necessárias as seis componentes do tensor de tensões: \sigma_{xx}, \sigma_{yy}, \sigma_{zz}, \tau_{xy}, \tau_{xz}, \tau_{yz}.
Observação crucial: não foram fornecidos os valores das componentes do estado de tensão no enunciado recebido aqui. Por isso, não é possível obter valores numéricos finais para (a) e (b). Abaixo eu explico, passo a passo e de forma didática, como se resolve o problema assim que esses dados estiverem disponíveis — faça como se fosse uma receita que você pode aplicar na prova.

Passo 2

O que significa “planos principais” e “tensões principais” (aula curta e intuitiva).
  • Plano principal: é um plano em que a tensão de cisalhamento é zero. Se você cortar um elemento infinitesimal nesse plano, a superfície só sente tensão normal (compressão ou tração), sem cisalhamento.
  • Tensões principais: são os valores das tensões normais nesses planos principais. Normalmente marcadas por \sigma_1, \sigma_2 (em 2D) — \sigma_1 é a maior tensão principal e \sigma_2 a menor.
Esses conceitos são úteis porque transformam um estado de tensão qualquer em um sistema de referência onde não existem tensões de cisalhamento, o que simplifica análise de falha, cálculo de invariantes, etc.

Passo 3

Fórmulas e derivação curta para estado de tensão plana (2D) — a forma que você quase sempre usa em prova.
  • Suponha que o enunciado te dá \sigma_x, \sigma_y e \tau_{xy}, medidos no sistema de eixos x,y.
  • As equações de transformação da tensão normal e de cisalhamento ao girar o eixo de um ângulo \theta são (essas fórmulas vêm da estática e do equilíbrio de forças em um elemento quadrado):
\sigma_{x'} = \frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} + \frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\cos 2\theta + \tau_{xy}\sin 2\theta
\tau_{x'y'} = -\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\sin 2\theta + \tau_{xy}\cos 2\theta
  • Planos principais: impondo \tau_{x'y'}=0 (queremos ângulos onde o cisalhamento é nulo), obtemos a equação para o ângulo dos planos principais:
\tan 2\theta_p = \frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x-\sigma_y}
Observações importantes sobre essa fórmula:
  • \theta_p é o ângulo medido a partir do eixo x até o plano onde \sigma é principal.
  • A equação determina 2\theta_p até um múltiplo de \pi. As duas direções principais diferem por 90^\circ (ou \pi/2 rad), então você obtém ambas as direções: \theta_p e \theta_p + 90^\circ.
  • Use uma função atan2 (ou raciocínio de quadrantes) para obter a direção correta, porque \tan perde sinal/quadrante.
  • Tensões principais (valores) podem ser obtidas diretamente pelas raízes da equação quadrática (ou substituindo \theta_p em \sigma_{x'}). A fórmula fechada é:
\sigma_{1,2} = \frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2}
Definições:
  • \sigma_1 é o valor com o sinal + (o maior),
  • \sigma_2 é com o sinal - (o menor),
  • a quantidade sob a raiz é o raio de Mohr: R=\sqrt{\left(\dfrac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2}.

Passo 4

Algoritmo passo a passo que você deve seguir na prova (recado prático, como uma checklist):
  1. Identificar e anotar \sigma_x, \sigma_y, \tau_{xy} (ver figura/enunciado).
  2. Calcular a média \displaystyle \sigma_{avg}=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}.
  3. Calcular \displaystyle \Delta=\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}.
  4. Calcular R=\sqrt{\Delta^2+\tau_{xy}^2}.
  5. Calcular as tensões principais: \sigma_1=\sigma_{avg}+R,\qquad \sigma_2=\sigma_{avg}-R.
  6. Calcular o ângulo principal usando \tan 2\theta_p=\frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x-\sigma_y},resolver para 2\theta_p com atenção ao quadrante e então dividir por 2. As duas direções são \theta_p e \theta_p+90^\circ.
  7. Verificação rápida: substitua \theta_p em \sigma_{x'} e confirme que \tau_{x'y'} é (aproximadamente) zero e que \sigma_{x'} coincide com \sigma_1 ou \sigma_2.
Dica de prova: quando \sigma_x=\sigma_y, então \tan2\theta_p é infinito se \tau_{xy}\neq0; isso significa 2\theta_p=90^\circ e \theta_p=45^\circ. É um caso comum.

Passo 5

Exemplo numérico completo e bem mastigado (faça este passo durante o estudo para praticar; aqui eu mostro um exemplo com números fáceis):
Suponha que os dados fossem \sigma_x=60\\ \mathrm{MPa}, \sigma_y=20\\ \mathrm{MPa} e \tau_{xy}=30\\ \mathrm{MPa}. Vou calcular tudo passo a passo.
  1. Média:
\sigma_{avg}=\frac{60+20}{2}=40\\ \mathrm{MPa}.
  1. Diferença/2:
\Delta=\frac{60-20}{2}=20\\ \mathrm{MPa}.
  1. Raio:
R=\sqrt{20^2+30^2}=\sqrt{400+900}=\sqrt{1300}=10\sqrt{13}\approx 36{,}056\\ \mathrm{MPa}.
  1. Tensões principais:
\sigma_1=40+36{,}056\approx 76{,}056\\ \mathrm{MPa},
\sigma_2=40-36{,}056\approx 3{,}944\\ \mathrm{MPa}.
  1. Ângulo dos planos principais:
\tan 2\theta_p=\frac{2\times 30}{60-20}=\frac{60}{40}=1{,}5.
2\theta_p=\arctan(1{,}5)\approx 56{,}31^\circ \quad\Rightarrow\quad \theta_p\approx 28{,}16^\circ.
Logo os planos principais estão orientados a cerca de \theta_p\approx 28{,}16^\circ e \theta_p+90^\circ\approx 118{,}16^\circ.
Este exemplo mostra passo a passo como aplicar as fórmulas e interpretar resultados.

Passo 6

Breve nota sobre estado tridimensional (se o seu exercício for 3D):
  • Nesse caso é necessário montar a matriz do tensor de tensões
\boldsymbol{\sigma}=\begin{pmatrix} \sigma_{xx} & \tau_{xy} & \tau_{xz}\\[4pt] \tau_{xy} & \sigma_{yy} & \tau_{yz}\\[4pt] \tau_{xz} & \tau_{yz} & \sigma_{zz} \end{pmatrix}
e calcular os autovalores (os três \sigma_1,\sigma_2,\sigma_3) resolvendo
\det(\boldsymbol{\sigma}-\lambda\mathbf{I})=0.
  • Os autovetores associados dão as direções dos planos principais. Isso exige resolução de um polinômio cúbico (na prova costuma haver simplificações numéricas ou componentes nulos para facilitar).]

Passo 7

Conclusão prática para o problema que você enviou agora:
  • Não há como fornecer as respostas numéricas de (a) e (b) porque o enunciado não trouxe os valores das componentes do estado de tensão (nenhuma \sigma ou \tau foi informada).
  • Use o procedimento detalhado acima assim que tiver \sigma_x,\sigma_y,\tau_{xy} (ou as seis componentes para 3D) — ele resolve a questão de forma direta e rápida na prova.

Resposta

Não é possível determinar numericamente os planos principais nem as tensões principais porque os valores das componentes do estado de tensão ( \sigma_x,\sigma_y,\tau_{xy} ou, no caso 3D, as seis componentes do tensor) não foram fornecidos no enunciado.

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