7.5 e 7.8) Para o estado de tensão dado, determine (a) os planos principais e (b) as tensões principais.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
(a) determinar os planos principais (ou seja, as orientações dos planos onde a tensão de cisalhamento é zero);
(b) determinar as tensões principais (os valores das tensões normais nesses planos).
Informações relevantes que seriam necessárias para resolver numericamente o problema:
Para um estado de tensão plana (caso mais comum em exercícios): os componentes \sigma_x, \sigma_y e \tau_{xy} (pegar esses valores do enunciado ou da figura).
Se o estado for tridimensional, seriam necessárias as seis componentes do tensor de tensões: \sigma_{xx}, \sigma_{yy}, \sigma_{zz}, \tau_{xy}, \tau_{xz}, \tau_{yz}.
Observação crucial: não foram fornecidos os valores das componentes do estado de tensão no enunciado recebido aqui. Por isso, não é possível obter valores numéricos finais para (a) e (b). Abaixo eu explico, passo a passo e de forma didática, como se resolve o problema assim que esses dados estiverem disponíveis — faça como se fosse uma receita que você pode aplicar na prova.
Passo 2
O que significa “planos principais” e “tensões principais” (aula curta e intuitiva).
Plano principal: é um plano em que a tensão de cisalhamento é zero. Se você cortar um elemento infinitesimal nesse plano, a superfície só sente tensão normal (compressão ou tração), sem cisalhamento.
Tensões principais: são os valores das tensões normais nesses planos principais. Normalmente marcadas por \sigma_1, \sigma_2 (em 2D) — \sigma_1 é a maior tensão principal e \sigma_2 a menor.
Esses conceitos são úteis porque transformam um estado de tensão qualquer em um sistema de referência onde não existem tensões de cisalhamento, o que simplifica análise de falha, cálculo de invariantes, etc.
Passo 3
Fórmulas e derivação curta para estado de tensão plana (2D) — a forma que você quase sempre usa em prova.
Suponha que o enunciado te dá \sigma_x, \sigma_y e \tau_{xy}, medidos no sistema de eixos x,y.
As equações de transformação da tensão normal e de cisalhamento ao girar o eixo de um ângulo \theta são (essas fórmulas vêm da estática e do equilíbrio de forças em um elemento quadrado):
\theta_p é o ângulo medido a partir do eixo x até o plano onde \sigma é principal.
A equação determina 2\theta_p até um múltiplo de \pi. As duas direções principais diferem por 90^\circ (ou \pi/2 rad), então você obtém ambas as direções: \theta_p e \theta_p + 90^\circ.
Use uma função atan2 (ou raciocínio de quadrantes) para obter a direção correta, porque \tan perde sinal/quadrante.
Tensões principais (valores) podem ser obtidas diretamente pelas raízes da equação quadrática (ou substituindo \theta_p em \sigma_{x'}). A fórmula fechada é:
Calcular as tensões principais:\sigma_1=\sigma_{avg}+R,\qquad \sigma_2=\sigma_{avg}-R.
Calcular o ângulo principal usando\tan 2\theta_p=\frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x-\sigma_y},resolver para 2\theta_p com atenção ao quadrante e então dividir por 2. As duas direções são \theta_p e \theta_p+90^\circ.
Verificação rápida: substitua \theta_p em \sigma_{x'} e confirme que \tau_{x'y'} é (aproximadamente) zero e que \sigma_{x'} coincide com \sigma_1 ou \sigma_2.
Dica de prova: quando \sigma_x=\sigma_y, então \tan2\theta_p é infinito se \tau_{xy}\neq0; isso significa 2\theta_p=90^\circ e \theta_p=45^\circ. É um caso comum.
Passo 5
Exemplo numérico completo e bem mastigado (faça este passo durante o estudo para praticar; aqui eu mostro um exemplo com números fáceis):
Suponha que os dados fossem \sigma_x=60\\ \mathrm{MPa}, \sigma_y=20\\ \mathrm{MPa} e \tau_{xy}=30\\ \mathrm{MPa}. Vou calcular tudo passo a passo.
e calcular os autovalores (os três \sigma_1,\sigma_2,\sigma_3) resolvendo
\det(\boldsymbol{\sigma}-\lambda\mathbf{I})=0.
Os autovetores associados dão as direções dos planos principais. Isso exige resolução de um polinômio cúbico (na prova costuma haver simplificações numéricas ou componentes nulos para facilitar).]
Passo 7
Conclusão prática para o problema que você enviou agora:
Não há como fornecer as respostas numéricas de (a) e (b) porque o enunciado não trouxe os valores das componentes do estado de tensão (nenhuma \sigma ou \tau foi informada).
Use o procedimento detalhado acima assim que tiver \sigma_x,\sigma_y,\tau_{xy} (ou as seis componentes para 3D) — ele resolve a questão de forma direta e rápida na prova.
Resposta
Não é possível determinar numericamente os planos principais nem as tensões principais porque os valores das componentes do estado de tensão (\sigma_x,\sigma_y,\tau_{xy} ou, no caso 3D, as seis componentes do tensor) não foram fornecidos no enunciado.