( \mathbf{0 , 6} ponto) Um sistema de movimento harmônico simples possui amplitude de 14,22 \mathrm{~cm}, velocidade máxima de 2,13 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, e uma energia mecânica de aproximadamente 1,97 \mathrm{~J}. Pede-se:
a) A constante elástica da mola;
b) A massa do MHS em questão;
c) A frequência de oscilação.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e perguntas. Dados fornecidos:
A=14,22\\ \text{cm},\qquad v_{\max}=2,13\\ \mathrm{m/s},\qquad E=1,97\\ \mathrm{J}.
Pedidos:
a) A constante elástica da mola ( k );
b) A massa do sistema ( m );
c) A frequência de oscilação ( f ).

Passo 2

Revisão das fórmulas e conceitos que vamos usar (com explicação didática):
  • A energia mecânica total de um movimento harmônico simples, quando expressa em termos da amplitude e da constante elástica, é
E=\frac{1}{2}kA^{2},
onde E é a energia total (em joules), k é a constante elástica da mola (em N/m) e A é a amplitude (em metros). Essa fórmula vem do fato de que, no instante em que a massa está na amplitude, toda a energia é potencial elástica U=\tfrac{1}{2}kA^{2}.
  • A velocidade máxima do oscilador é dada por
v_{\max}=A\omega,
onde \omega é a velocidade angular (em rad/s). Isso porque a velocidade instantânea é v(t)=A\omega\cos(\omega t+\varphi) e o máximo em valor absoluto é A\omega.
  • A relação entre constante elástica, massa e velocidade angular é
k=m\omega^{2}.
  • A frequência (em Hz) relaciona-se com a velocidade angular por
f=\frac{\omega}{2\pi}.
  • Observação útil: substituindo v_{\max}=A\omega em E=\tfrac{1}{2}m\omega^{2}A^{2} obtemos também
E=\frac{1}{2}m v_{\max}^{2},
o que é uma forma prática para achar m a partir de E e v_{\max}. Em todas essas fórmulas explico: cada variável representa o que já disse acima e as unidades devem ser consistentes (m, s, N, J).

Passo 3

Primeiro passo prático: converter amplitude para metros (unidade do SI).
A=14,22\\ \text{cm}=0,1422\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calcular a constante elástica k a partir de E=\tfrac{1}{2}kA^{2}.
  • Isolando k:
k=\frac{2E}{A^{2}}.
  • Calcule A^{2}:
A^{2}=(0,1422)^{2}=0,02023684\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Substituindo:
k=\frac{2\cdot 1,97}{0,02023684}=\frac{3,94}{0,02023684}\approx 194,69\\ \mathrm{N/m}.
Interpretação: a unidade N/m vem porque E está em joules (N·m) e A^{2} em \mathrm{m^{2}}, então sobra N/m.

Passo 5

Calcular a massa m usando a forma prática E=\tfrac{1}{2}m v_{\max}^{2}.
  • Isolando m:
m=\frac{2E}{v_{\max}^{2}}.
  • Calcule v_{\max}^{2}:
v_{\max}^{2}=(2,13)^{2}=4,5369\\ \mathrm{(m/s)^{2}}.
  • Substituindo:
m=\frac{2\cdot 1,97}{4,5369}=\frac{3,94}{4,5369}\approx 0,8685\\ \mathrm{kg}.
Comentário: esse resultado faz sentido físico (massa < 1 kg) e tem unidade de kg.

Passo 6

Calcular a velocidade angular \omega a partir de v_{\max}=A\omega.
  • Isolando \omega:
\omega=\frac{v_{\max}}{A}.
  • Substituindo:
\omega=\frac{2,13}{0,1422}\approx 14,97\\ \mathrm{rad/s}.
Interpretação: \omega indica quantos radianos por segundo o sistema “varre”.

Passo 7

Calcular a frequência f usando f=\dfrac{\omega}{2\pi}.
  • Substituindo o valor de \omega:
f=\frac{14,97}{2\pi}\approx\frac{14,97}{6,28318}\approx 2,38\\ \mathrm{Hz}.
Significado: o sistema completa aproximadamente 2{,}38 oscilações por segundo.

Passo 8

Verificação rápida de consistência (checar se k=m\omega^{2} dá aproximadamente o k encontrado):
m\omega^{2}\approx 0,8685\cdot(14,97)^{2}=0,8685\cdot 224,1\approx 194,7\\ \mathrm{N/m},
que coincide com o valor obtido no Passo 4 (diferenças pequenas por arredondamento). Isso confirma que os resultados são coerentes.

Resposta

a) k\approx 195\\ \mathrm{N/m}
b) m\approx 0,869\\ \mathrm{kg}
c) f\approx 2,38\\ \mathrm{Hz}

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