( \mathbf{0 , 5} ponto) Um sistema MHS possui uma mola com \mathrm{k}=0,175 \mathrm{~N} / \mathrm{mm} e amplitude de 3,95 \mathrm{~cm}. Qual a energia mecânica associada?

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a energia mecânica associada a um sistema massa-mola (MHS) sabendo a constante da mola e a amplitude da oscilação.
Informações dadas:
k = 0{,}175\\ \mathrm{N/mm}
A = 3{,}95\\ \mathrm{cm}
Objetivo final: encontrar a energia mecânica total E do oscilador.

Passo 2

Conceito e fórmula principal (a aula curta que faltou): numa oscilação harmônica simples a energia mecânica total é constante e é a soma da energia cinética e da energia potencial elástica. No instante em que a massa está na amplitude, a velocidade é zero, então toda a energia está armazenada na mola como energia potencial elástica. A expressão da energia potencial elástica de uma mola linear é obtida integrando a força elástica F=-kx:
U(x)=\int F\,dx=\int (-kx)\,dx=\frac{1}{2}kx^{2}.
Aqui x é a deformação da mola (em metros), k é a constante elástica (em \mathrm{N/m}). Como no ponto de amplitude toda a energia é potencial, a energia mecânica total é
E=\frac{1}{2}kA^{2},
onde A é a amplitude (em metros). Essa é a fórmula que vamos usar. Explicando as variáveis:
  • E: energia mecânica total (joules, \mathrm{J}).
  • k: constante da mola (newtons por metro, \mathrm{N/m}).
  • A: amplitude da oscilação (metros, \mathrm{m}).

Passo 3

Converter as unidades para o SI (fundamental para usar a fórmula corretamente).
Converter k de \mathrm{N/mm} para \mathrm{N/m}. Como 1\\ \mathrm{mm}=10^{-3}\\ \mathrm{m}, multiplicamos por 10^{3}:
k = 0{,}175\\ \mathrm{N/mm} = 0{,}175 \times 1000\\ \mathrm{N/m} = 175\\ \mathrm{N/m}.
Converter A de \mathrm{cm} para \mathrm{m}. Como 1\\ \mathrm{cm}=10^{-2}\\ \mathrm{m}, dividimos por 100:
A = 3{,}95\\ \mathrm{cm} = 3{,}95 \times 10^{-2}\\ \mathrm{m} = 0{,}0395\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calcular o quadrado da amplitude (passo intermediário simples, faça sempre isso com cuidado na prova):
A^{2} = (0{,}0395\\ \mathrm{m})^{2} = 0{,}00156025\\ \mathrm{m}^{2}.

Passo 5

Substituir na fórmula E=\dfrac{1}{2}kA^{2} e calcular passo a passo:
primeiro kA^{2}:
kA^{2} = 175\\ \mathrm{N/m} \times 0{,}00156025\\ \mathrm{m}^{2} = 0{,}27304375\\ \mathrm{J}.
depois multiplicar por \dfrac{1}{2}:
E = \frac{1}{2}\times 0{,}27304375\\ \mathrm{J} = 0{,}136521875\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Arredondamento e número de algarismos significativos: os dados iniciais têm três algarismos significativos ( 0{,}175 e 3{,}95), então é razoável apresentar a resposta com três algarismos significativos. Arredondando,
E \approx 0{,}137\\ \mathrm{J}.
Boa! É um valor pequeno — típico de molas e amplitudes pequenas — e agora você pode justificar cada etapa na prova: converter unidades, usar E=\tfrac{1}{2}kA^{2}, calcular A^{2}, multiplicar e ajustar algarismos.

Resposta

E=0{,}137\\ \mathrm{J}

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