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pontos) Dedução da equação da elipse; Considere a elipse
com centro em ( 0,0 ), focos em (
) e (
), vértices no eixo maior em (
) e (
) e vértices no eixo menor em
e
. Mostre que um ponto
esta na elipse
se satisfaz a equação
Onde
e
são constantes positivas que satisfazem a equação
.
Passo 1
O enunciado nos dá a elipse
centrada em
com:
- focos em
e , com ; - vértices do eixo maior em
e , com ; - vértices do eixo menor em
e , com .
O que pede: mostrar que um ponto
pertence à elipse
se, e somente se, satisfaz
onde as constantes positivas
satisfazem
Informações relevantes dadas:
- A elipse é o conjunto dos pontos cuja soma das distâncias aos dois focos é constante e igual a
. - Coordenadas dos focos e vértices conforme acima.
Passo 2
Lembrando a definição geométrica: um ponto
está na elipse se a soma das distâncias aos focos é
. Usando a fórmula da distância no plano, as distâncias aos focos são
Pela definição da elipse temos a equação com radicais
Esta é a equação de partida que vamos manipular algebricamente para obter a forma pedida.
Passo 3
Antes de mexer nos radicais, é útil obter a relação entre
. Considere o vértice do eixo menor
. Pela definição da elipse, a soma das distâncias deste ponto aos focos vale
. Calcula-se:
Como isso tem que ser igual a
, segue que
e portanto
Isso justifica a relação entre as semi‑medidas da elipse e a distância focal.
Passo 4
Voltemos à soma dos radicais. Para eliminar os radicais, isolamos um deles e elevamos ao quadrado. Isolando o segundo radical,
Agora elevamos ambos os lados ao quadrado. É mais direto isolar o primeiro radical também; faço de forma que a conta fique limpa: a partir de
isolo
e elevo ao quadrado, obtendo
Repare que
aparece em ambos os lados e se cancela. Subtraindo
do lado direito para o esquerdo e simplificando os termos em
, temos
Calcule o lado esquerdo explicitamente:
Logo
Dividindo por
e isolando a raiz,
Portanto
Passo 5
Agora elevamos ao quadrado essa expressão para eliminar a raiz remanescente:
Multiplicando ambos os lados por
:
Expandindo ambos os lados claramente:
Desenvolvendo o lado esquerdo:
Observe que o termo
aparece em ambos os lados e se cancela. Após cancelar e agrupar os termos restantes:
Passe os termos com
para um lado:
Fatorando
e o lado direito:
Passo 6
Divida ambos os lados por
(note que
porque
, pois os focos ficam dentro do eixo maior):
Agora, usando a relação encontrada no Passo 3, definimos
o que coincide com a condição do enunciado
. Substituindo
por
na última igualdade chega-se à forma padrão da elipse: