( \mathbf{2} pontos) Dedução da equação da elipse; Considere a elipse E com centro em ( 0,0 ), focos em ( -c, 0 ) e ( c, 0 ), vértices no eixo maior em ( -a, 0 ) e ( a, 0 ) e vértices no eixo menor em (0,-b) e (0, b). Mostre que um ponto (x, y) esta na elipse E se satisfaz a equação
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 .
Onde a, b e c são constantes positivas que satisfazem a equação a^{2}=b^{2}+c^{2}.

Passo 1

O enunciado nos dá a elipse E centrada em (0,0) com:
  • focos em (-c,0) e (c,0), com c>0;
  • vértices do eixo maior em (-a,0) e (a,0), com a>0;
  • vértices do eixo menor em (0,-b) e (0,b), com b>0.
O que pede: mostrar que um ponto (x,y) pertence à elipse E se, e somente se, satisfaz
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,
onde as constantes positivas a,b,c satisfazem
a^{2}=b^{2}+c^{2}.
Informações relevantes dadas:
  • A elipse é o conjunto dos pontos cuja soma das distâncias aos dois focos é constante e igual a 2a.
  • Coordenadas dos focos e vértices conforme acima.

Passo 2

Lembrando a definição geométrica: um ponto (x,y) está na elipse se a soma das distâncias aos focos é 2a. Usando a fórmula da distância no plano, as distâncias aos focos são
d_{1}=\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}},\qquad d_{2}=\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}.
Pela definição da elipse temos a equação com radicais
\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}=2a.
Esta é a equação de partida que vamos manipular algebricamente para obter a forma pedida.

Passo 3

Antes de mexer nos radicais, é útil obter a relação entre a,b,c. Considere o vértice do eixo menor (0,b). Pela definição da elipse, a soma das distâncias deste ponto aos focos vale 2a. Calcula-se:
\sqrt{(0+c)^{2}+b^{2}}+\sqrt{(0-c)^{2}+b^{2}}= \sqrt{c^{2}+b^{2}}+\sqrt{c^{2}+b^{2}}=2\sqrt{c^{2}+b^{2}}.
Como isso tem que ser igual a 2a, segue que
2\sqrt{c^{2}+b^{2}}=2a \quad\Rightarrow\quad \sqrt{c^{2}+b^{2}}=a,
e portanto
a^{2}=b^{2}+c^{2}.
Isso justifica a relação entre as semi‑medidas da elipse e a distância focal.

Passo 4

Voltemos à soma dos radicais. Para eliminar os radicais, isolamos um deles e elevamos ao quadrado. Isolando o segundo radical,
\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}=2a-\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}.
Agora elevamos ambos os lados ao quadrado. É mais direto isolar o primeiro radical também; faço de forma que a conta fique limpa: a partir de
\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}=2a,
isolo \sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}=2a-\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}} e elevo ao quadrado, obtendo
(x+c)^{2}+y^{2}=4a^{2}-4a\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}+(x-c)^{2}+y^{2}.
Repare que y^{2} aparece em ambos os lados e se cancela. Subtraindo (x-c)^{2} do lado direito para o esquerdo e simplificando os termos em x, temos
(x+c)^{2}-(x-c)^{2}=4a^{2}-4a\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}.
Calcule o lado esquerdo explicitamente:
(x+c)^{2}-(x-c)^{2}= (x^{2}+2cx+c^{2})-(x^{2}-2cx+c^{2})=4cx.
Logo
4cx=4a^{2}-4a\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}.
Dividindo por 4 e isolando a raiz,
cx=a^{2}-a\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}\quad\Rightarrow\quad a\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}=a^{2}-cx.
Portanto
\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}=\frac{a^{2}-cx}{a}.

Passo 5

Agora elevamos ao quadrado essa expressão para eliminar a raiz remanescente:
(x-c)^{2}+y^{2}=\left(\frac{a^{2}-cx}{a}\right)^{2}=\frac{(a^{2}-cx)^{2}}{a^{2}}.
Multiplicando ambos os lados por a^{2}:
a^{2}\bigl((x-c)^{2}+y^{2}\bigr)=(a^{2}-cx)^{2}.
Expandindo ambos os lados claramente:
a^{2}(x^{2}-2cx+c^{2}+y^{2})=a^{4}-2a^{2}cx+c^{2}x^{2}.
Desenvolvendo o lado esquerdo:
a^{2}x^{2}-2a^{2}cx+a^{2}c^{2}+a^{2}y^{2}=a^{4}-2a^{2}cx+c^{2}x^{2}.
Observe que o termo -2a^{2}cx aparece em ambos os lados e se cancela. Após cancelar e agrupar os termos restantes:
a^{2}x^{2}+a^{2}c^{2}+a^{2}y^{2}=a^{4}+c^{2}x^{2}.
Passe os termos com x^{2} para um lado:
a^{2}x^{2}-c^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{4}-a^{2}c^{2}.
Fatorando x^{2} e o lado direito:
(a^{2}-c^{2})x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}(a^{2}-c^{2}).

Passo 6

Divida ambos os lados por a^{2}(a^{2}-c^{2}) (note que a^{2}-c^{2}>0 porque a>c, pois os focos ficam dentro do eixo maior):
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}-c^{2}}=1.
Agora, usando a relação encontrada no Passo 3, definimos
b^{2}=a^{2}-c^{2},
o que coincide com a condição do enunciado a^{2}=b^{2}+c^{2}. Substituindo a^{2}-c^{2} por b^{2} na última igualdade chega-se à forma padrão da elipse:
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1.

Resposta

\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1

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