( \mathbf{2 . 5} pontos) Considere a parábola com foco em (4,-5) e com diretriz sendo a reta y=1.
Da parábola anterior, determinar.
a. O vértice e a equação do eixo de parábola.
b. A equação reduzida da parábola.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede as coisas abaixo:
  • Dados:
    • foco: (4,-5).
    • diretriz: a reta y=1.
  • O que é pedido:
    • (a) determinar o vértice e a equação do eixo da parábola;
    • (b) determinar a equação reduzida (forma canônica) da parábola.

Passo 2

Conceitos essenciais (curtinho e direto, para usar na resolução):
  • Definição de parábola: a parábola é o conjunto dos pontos (x,y) que estão à mesma distância do foco e da diretriz. Ou seja, para todo ponto (x,y) na parábola vale
    \text{dist}\big((x,y),\text{foco}\big)=\text{dist}\big((x,y),\text{diretriz}\big).
    Vou usar essa definição quando for necessário.
  • Geometria do eixo e do vértice:
    • O eixo da parábola é a reta que passa pelo foco e é perpendicular à diretriz.
    • O vértice é o ponto da parábola mais próximo tanto do foco quanto da diretriz; geometrica­mente é o ponto médio entre o foco e a projeção do foco sobre a diretriz (projeção perpendicular).
    • Se a diretriz é horizontal ( y= constante), então o eixo é vertical; se a diretriz é vertical ( x= constante), o eixo é horizontal.
  • Forma reduzida (para eixo vertical): se o vértice é (h,k) e a parábola tem eixo vertical, então a forma canônica é
    (x-h)^2 = 4p(y-k),
    onde:
    • p é a distância dirigida do vértice ao foco (positivo se a parábola abre para cima, negativo se abre para baixo);
    • o foco tem coordenadas (h,k+p);
    • a diretriz é y=k-p.
      Vou usar essa fórmula depois que encontrar (h,k) e p.

Passo 3

Determinar o eixo e o vértice usando a orientação da diretriz:
  • A diretriz é y=1, que é uma reta horizontal. Portanto o eixo da parábola é uma reta vertical que passa pelo foco. O foco tem abscissa x=4, logo o eixo é a reta
    x=4.
  • Para encontrar o vértice: projetar o foco perpendicularmente sobre a diretriz. A projeção do foco (4,-5) sobre a reta y=1 tem a mesma abscissa x=4 e ordenada y=1, ou seja é o ponto (4,1).
  • O vértice é o ponto médio entre o foco (4,-5) e essa projeção (4,1). O ponto médio de (4,-5) e (4,1) tem coordenadas
    \left(\frac{4+4}{2},\frac{-5+1}{2}\right) = (4,\,-2).
    Portanto o vértice é (4,-2).

Passo 4

Determinar p (a distância dirigida do vértice ao foco) e interpretar o sentido da abertura:
  • A ordenada do vértice é k=-2 e a do foco é -5. A distância (com sinal) do vértice ao foco é p = -5 - (-2) = -3.Aqui p=-3 indica que o foco está 3 unidades abaixo do vértice, logo a parábola abre para baixo (coerente com diretriz acima do foco).

Passo 5

Escrever a equação reduzida usando a forma canônica e substituindo h,k,p:
  • A forma canônica para eixo vertical é
    (x-h)^2 = 4p(y-k).
    Substituindo h=4, k=-2 e p=-3 obtemos
    (x-4)^2 = 4\cdot(-3)\cdot\big(y-(-2)\big).
    Isso simplifica para
    (x-4)^2 = -12(y+2).
  • Se quiser escrever isolando y,
    y = -2 - \frac{1}{12}(x-4)^2.

Passo 6

Verificação alternativa (uso direto da definição por distância para confirmar a equação):
  • Igualando distâncias: para um ponto (x,y) da parábola vale \sqrt{(x-4)^2+(y+5)^2} = |y-1|.Quadrando ambos os lados: (x-4)^2 + (y+5)^2 = (y-1)^2.Expandindo: (x-4)^2 + y^2 +10y +25 = y^2 -2y +1.Cancelando y^2 e agrupando termos: (x-4)^2 +12y +24 = 0.Isolando (x-4)^2: (x-4)^2 = -12(y+2),que coincide com a equação encontrada no passo anterior — verificação concluída.

Resposta

(a) Vértice: (4,-2). Eixo: x=4.
(b) Equação reduzida: (x-4)^2 = -12(y+2).

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