(
pontos) Considere a parábola com foco em
e com diretriz sendo a reta
.
Da parábola anterior, determinar.
a. O vértice e a equação do eixo de parábola.
b. A equação reduzida da parábola.
a. O vértice e a equação do eixo de parábola.
b. A equação reduzida da parábola.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede as coisas abaixo:
-
Dados:
- foco:
. - diretriz: a reta
.
- foco:
-
O que é pedido:
- (a) determinar o vértice e a equação do eixo da parábola;
- (b) determinar a equação reduzida (forma canônica) da parábola.
Passo 2
Conceitos essenciais (curtinho e direto, para usar na resolução):
-
Definição de parábola: a parábola é o conjunto dos pontos
que estão à mesma distância do foco e da diretriz. Ou seja, para todo ponto na parábola vale Vou usar essa definição quando for necessário. -
Geometria do eixo e do vértice:
- O eixo da parábola é a reta que passa pelo foco e é perpendicular à diretriz.
- O vértice é o ponto da parábola mais próximo tanto do foco quanto da diretriz; geometricamente é o ponto médio entre o foco e a projeção do foco sobre a diretriz (projeção perpendicular).
- Se a diretriz é horizontal (
constante), então o eixo é vertical; se a diretriz é vertical ( constante), o eixo é horizontal.
-
Forma reduzida (para eixo vertical): se o vértice é
e a parábola tem eixo vertical, então a forma canônica é onde:-
é a distância dirigida do vértice ao foco (positivo se a parábola abre para cima, negativo se abre para baixo); - o foco tem coordenadas
; - a diretriz é
.
Vou usar essa fórmula depois que encontrare .
-
Passo 3
Determinar o eixo e o vértice usando a orientação da diretriz:
-
A diretriz é
, que é uma reta horizontal. Portanto o eixo da parábola é uma reta vertical que passa pelo foco. O foco tem abscissa , logo o eixo é a reta -
Para encontrar o vértice: projetar o foco perpendicularmente sobre a diretriz. A projeção do foco
sobre a reta tem a mesma abscissa e ordenada , ou seja é o ponto . -
O vértice é o ponto médio entre o foco
e essa projeção . O ponto médio de e tem coordenadas Portanto o vértice é.
Passo 4
Determinar
(a distância dirigida do vértice ao foco) e interpretar o sentido da abertura:
- A ordenada do vértice é
e a do foco é . A distância (com sinal) do vértice ao foco é Aqui indica que o foco está 3 unidades abaixo do vértice, logo a parábola abre para baixo (coerente com diretriz acima do foco).
Passo 5
Escrever a equação reduzida usando a forma canônica e substituindo
:
-
A forma canônica para eixo vertical éSubstituindo
, e obtemos Isso simplifica para -
Se quiser escrever isolando
,
Passo 6
Verificação alternativa (uso direto da definição por distância para confirmar a equação):
- Igualando distâncias: para um ponto
da parábola vale Quadrando ambos os lados: Expandindo: Cancelando e agrupando termos: Isolando : que coincide com a equação encontrada no passo anterior — verificação concluída.
Resposta
(a) Vértice:
. Eixo:
.
(b) Equação reduzida:
.