Seja
dada por
Prove que
se, e somente se,
, e verifique se isso ocorre.
Passo 1
O enunciado nos dá a transformação linear
definida por
O que nos pedem:
- Provar a afirmação geral:
se, e somente se, . - Verificar, para a transformação
dada, se essa situação ocorre (ou seja, decidir se e se ).
Informações relevantes dadas no enunciado:
- A fórmula explícita de
, que fornece quatro equações lineares ligando as coordenadas de à imagem.
Passo 2
Definições e teorema que usarei (explicando bem):
- A
(núcleo) é o conjunto . É o conjunto de vetores que vão para o vetor zero. - A
(imagem) é o conjunto , isto é, todos os vetores alcançáveis por . - Teorema do posto-nulidade (Rank–Nullity): para uma transformação linear
com de dimensão finita, vale
No nosso caso
, então
Agora uso esse teorema para provar a equivalência pedida:
- Se
então . Da relação acima segue . Um subespaço de dimensão é . Logo . - Inversamente, se
então . Pela relação, . Como é subespaço de e tem dimensão , segue .
Portanto, para transformações lineares entre espaços de mesma dimensão finita (aqui), vale a equivalência
Passo 3
Agora vamos verificar isso para a transformação
Resolvendo passo a passo:
- Da primeira equação vem
dá
, logo .
- Terceira equação:dá .
- Checamos a quarta equação:, que é satisfeita automaticamente (consistência ok).
Portanto as soluções são todos os vetores da forma
Isto mostra que
é o subespaço gerado por
, assim
Em particular
.]
Passo 4
Usando a relação postos-nulidade com
, obtemos
Como
, concluímos que
; ou seja,
não é sobrejetora.
Para dar uma descrição concreta da imagem, calculemos uma relação linear que os componentes de
satisfazem. Usando as fórmulas
temos
Logo todo vetor na imagem satisfaz
Isto explica por que a imagem tem dimensão 3: é exatamente o hiperplano de
definido por essa equação. Também podemos ver a dependência linear explícita entre as colunas da matriz de
: se
são as colunas, verifica-se
o que mostra dependência de colunas e posto menor que 4 (coerente com
).
Passo 5
Conclusões finais e interpretação amigável:
- A equivalência geral foi provada usando o teorema do posto-nulidade: para transformações lineares entre espaços de mesma dimensão finita, ser injetora (núcleo trivial) é equivalente a ser sobrejetora (imagem igual ao espaço todo).
- Para a transformação específica
dada, encontramos , portanto . Consequentemente ; na verdade e
Resposta
A equivalência
é verdadeira (resultado do teorema do posto-nulidade para espaços de mesma dimensão).\n
Para a transformação dada, , logo
(de fato
e
).
Para a transformação dada,