Seja T: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{4} dada por
T\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=\left(x_{1}+x_{2}, x_{2}+x_{3}, x_{3}+x_{4}, x_{4}+x_{1}\right)
Prove que \operatorname{Im} T=\mathbb{R}^{4} se, e somente se, \operatorname{Ker} T=\{0\}, e verifique se isso ocorre.

Passo 1

O enunciado nos dá a transformação linear T:\mathbb{R}^{4}\to\mathbb{R}^{4} definida por
T\left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right)=\left(x_{1}+x_{2},\;x_{2}+x_{3},\;x_{3}+x_{4},\;x_{4}+x_{1}\right).
O que nos pedem:
  • Provar a afirmação geral: \operatorname{Im}T=\mathbb{R}^{4} se, e somente se, \operatorname{Ker}T=\{0\}.
  • Verificar, para a transformação T dada, se essa situação ocorre (ou seja, decidir se \operatorname{Ker}T=\{0\} e se \operatorname{Im}T=\mathbb{R}^4).
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • A fórmula explícita de T, que fornece quatro equações lineares ligando as coordenadas de (x_1,x_2,x_3,x_4) à imagem.

Passo 2

Definições e teorema que usarei (explicando bem):
  • A \operatorname{Ker}T (núcleo) é o conjunto \{x\in\mathbb{R}^4 \mid T(x)=0\}. É o conjunto de vetores que vão para o vetor zero.
  • A \operatorname{Im}T (imagem) é o conjunto \{T(x)\in\mathbb{R}^4 \mid x\in\mathbb{R}^4\}, isto é, todos os vetores alcançáveis por T.
  • Teorema do posto-nulidade (Rank–Nullity): para uma transformação linear T: V\to W com V de dimensão finita, vale
\dim \operatorname{Ker}T + \dim \operatorname{Im}T = \dim V.
No nosso caso V=\mathbb{R}^4, então
\dim \operatorname{Ker}T + \dim \operatorname{Im}T = 4.
Agora uso esse teorema para provar a equivalência pedida:
  • Se \operatorname{Im}T=\mathbb{R}^4 então \dim\operatorname{Im}T=4. Da relação acima segue \dim\operatorname{Ker}T=4-4=0. Um subespaço de dimensão 0 é \{0\}. Logo \operatorname{Ker}T=\{0\}.
  • Inversamente, se \operatorname{Ker}T=\{0\} então \dim\operatorname{Ker}T=0. Pela relação, \dim\operatorname{Im}T=4-0=4. Como \operatorname{Im}T é subespaço de \mathbb{R}^4 e tem dimensão 4, segue \operatorname{Im}T=\mathbb{R}^4.
    Portanto, para transformações lineares entre espaços de mesma dimensão finita (aqui \mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^4), vale a equivalência
\operatorname{Im}T=\mathbb{R}^{4}\quad\Longleftrightarrow\quad\operatorname{Ker}T=\{0\}.

Passo 3

Agora vamos verificar isso para a transformação T\) dada: primeiro calculamos \(\operatorname{Ker}T\) resolvendo \(T(x)=0\). Escrevendo explicitamente as equações para \(x=(x_1,x_2,x_3,x_4)\), \[\begin{cases} x_{1}+x_{2}=0,\\[4pt] x_{2}+x_{3}=0,\\[4pt] x_{3}+x_{4}=0,\\[4pt] x_{4}+x_{1}=0. \end{cases}
Resolvendo passo a passo:
  • Da primeira equação vem x_{2}=-x_{1}\]. - Substituindo na segunda: \(x_{2}+x_{3}=0 -x_{1}+x_{3}=0, logo x_{3}=x_{1}.
    - Terceira equação: x_{3}+x_{4}=0 x_{4}=-x_{3}=-x_{1}.
    - Checamos a quarta equação: x_{4}+x_{1}=(-x_{1})+x_{1}=0, que é satisfeita automaticamente (consistência ok).
Portanto as soluções são todos os vetores da forma
(x_1,x_2,x_3,x_4) = (t,\,-t,\,t,\,-t)= t(1,-1,1,-1),\qquad t\in\mathbb{R}.
Isto mostra que \operatorname{Ker}T é o subespaço gerado por (1,-1,1,-1), assim
\operatorname{Ker}T=\operatorname{span}\{(1,-1,1,-1)\}, \qquad\dim\operatorname{Ker}T=1.
Em particular \operatorname{Ker}T\neq\{0\}.]

Passo 4

Usando a relação postos-nulidade com \dim\operatorname{Ker}T=1, obtemos
\dim\operatorname{Im}T = 4 - \dim\operatorname{Ker}T = 4-1=3.
Como \dim\operatorname{Im}T=3<4, concluímos que \operatorname{Im}T\neq\mathbb{R}^4; ou seja, T não é sobrejetora.
Para dar uma descrição concreta da imagem, calculemos uma relação linear que os componentes de y=T(x)=(y_1,y_2,y_3,y_4) satisfazem. Usando as fórmulas
y_{1}=x_{1}+x_{2},\quad y_{2}=x_{2}+x_{3},\quad y_{3}=x_{3}+x_{4},\quad y_{4}=x_{4}+x_{1},
temos
y_{1}-y_{2}+y_{3}-y_{4}=(x_{1}+x_{2})-(x_{2}+x_{3})+(x_{3}+x_{4})-(x_{4}+x_{1})=0.
Logo todo vetor na imagem satisfaz
y_{1}-y_{2}+y_{3}-y_{4}=0.
Isto explica por que a imagem tem dimensão 3: é exatamente o hiperplano de \mathbb{R}^4 definido por essa equação. Também podemos ver a dependência linear explícita entre as colunas da matriz de T: se c_1,c_2,c_3,c_4 são as colunas, verifica-se
c_1-c_2+c_3-c_4=0,
o que mostra dependência de colunas e posto menor que 4 (coerente com \dim\operatorname{Im}T=3).

Passo 5

Conclusões finais e interpretação amigável:
  • A equivalência geral foi provada usando o teorema do posto-nulidade: para transformações lineares entre espaços de mesma dimensão finita, ser injetora (núcleo trivial) é equivalente a ser sobrejetora (imagem igual ao espaço todo).
  • Para a transformação específica T dada, encontramos \operatorname{Ker}T=\operatorname{span}\{(1,-1,1,-1)\}, portanto \operatorname{Ker}T\neq\{0\}. Consequentemente \operatorname{Im}T\neq\mathbb{R}^4; na verdade \dim\operatorname{Im}T=3 e
\operatorname{Im}T=\{(y_1,y_2,y_3,y_4)\in\mathbb{R}^4 \mid y_1-y_2+y_3-y_4=0\}.

Resposta

A equivalência \operatorname{Im}T=\mathbb{R}^{4}\iff\operatorname{Ker}T=\{0\} é verdadeira (resultado do teorema do posto-nulidade para espaços de mesma dimensão).\n
Para a transformação dada, \operatorname{Ker}T=\operatorname{span}\{(1,-1,1,-1)\}\neq\{0\}, logo \operatorname{Im}T\neq\mathbb{R}^{4} (de fato \dim\operatorname{Im}T=3 e \operatorname{Im}T=\{y\in\mathbb{R}^4\mid y_1-y_2+y_3-y_4=0\}).

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