Questão (2pts): a queda de pressão devida ao atrito no escoamento em um tubo longo liso é uma função da velocidade média do escoamento, massa especifica, viscosidade, comprimento e diâmetro do tubo. \Delta p=f(V, \rho, \mu, L, D). Qual a variação de \Delta p com V. a) Utilize o teorema de \pi para reescrever esta função na forma adimensional. b) Elabore um gráfico da função utilizando os seguintes dados para três tubos e três fluidos (Tabela):
D (cm) L (m) Q ( \mathrm{m}^{3} / \mathrm{s} ) \boldsymbol{\Delta} \mathbf{p}(\mathrm{Pa}) P ( \mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3} ) \boldsymbol{\mu}(\mathrm{kg} / \mathrm{m} \mathrm{s}) \mathbf{V}\left(\mathrm{m} / \mathrm{s}^{2}\right)
1,0 5 0,3 4.680 680{ }^{\text {a }} 2,92 \mathrm{E}^{-4}(\mathrm{a}) 1,06
1,0 7 0,6 22.300 680 { }^{\text {a }} 2,92 \mathrm{E}^{-4}(\mathrm{a}) 2,12
1,0 9 1,0 70.800 680 { }^{\text {a }} 2,92 \mathrm{E}^{-4}(\mathrm{a}) 3,54
2,0 4 1,0 2080 998^{\mathrm{b}} 0,0010 (b) 0,88
2,0 6 2,0 10.500 998{ }^{\text {b }} 0,0010 (b) 1,77
2,0 8 3,1 30.400 998{ }^{\text {b }} 0,0010 (b) 2,74
3,0 3 0,5 540 13.550^{\mathrm{c}} 1,56 \mathrm{E}^{-3} (c) 0,20
3,0 4 1,0 2480 13.550^{\mathrm{c}} 1,56 \mathrm{E}^{-3}(\mathrm{c}) 0,39
3,0 5 1,7 9.600 13.550^{\mathrm{c}} 1,56 \mathrm{E}^{-3}(\mathrm{c}) 0,67
\mathrm{V}=\mathrm{Q} / \mathrm{A}, \mathrm{A}=\pi \mathrm{D}^{2} / 4
{ }^{\mathrm{a}}= gasolina; { }^{\mathrm{b}}= água; { }^{\mathrm{c}}= mercúrio
c) Suponha que \Delta p é proporcional a L (o que é verdadeiro para tubos longos, com entradas arredondadas). Utilize essas informações para simplificar e melhorar a formulação do teorema \pi. Elabore um gráfico adimensional nessa maneira melhorada e analise seus resultados com base nos experimentos de Blasius (justifique suas respostas - máximo 8 linhas).

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  • (a) escrever a relação \Delta p=f(V,\rho,\mu,L,D) numa forma adimensional usando o teorema de \pi;
  • (b) construir um gráfico adimensional usando os dados da tabela (fornecidos na tabela: diâmetro D em cm, comprimento L em m, vazão Q em \mathrm{m}^3/\mathrm{s}, \Delta p em Pa, \rho em \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3, \mu em \mathrm{kg}/(\mathrm{m}\cdot\mathrm{s}), e V em \mathrm{m}/\mathrm{s} — eu peguei estes números da tabela do enunciado);
  • (c) supondo \Delta p\propto L, simplificar a formulação adimensional, construir um gráfico melhorado e comparar com os experimentos empíricos de Blasius (análise breve).
Dados relevantes retirados da tabela (peguei os valores diretamente da tabela do enunciado; converti D para metros onde necessário):
  • Experimento 1: D=1{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}01\\ \mathrm{m}, L=5\\ \mathrm{m}, \Delta p=4680\\ \mathrm{Pa}, \rho=680\\ \mathrm{kg/m^3}, \mu=2{,}92\cdot10^{-4}\\ \mathrm{kg/(m\cdot s)}, V=1{,}06\\ \mathrm{m/s}.
  • Experimento 2: D=1{,}0\\ \mathrm{cm}, L=7\\ \mathrm{m}, \Delta p=22300\\ \mathrm{Pa}, \rho=680, \mu=2{,}92\cdot10^{-4}, V=2{,}12.
  • Experimento 3: D=1{,}0\\ \mathrm{cm}, L=9\\ \mathrm{m}, \Delta p=70800\\ \mathrm{Pa}, \rho=680, \mu=2{,}92\cdot10^{-4}, V=3{,}54.
  • Experimento 4: D=2{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}02\\ \mathrm{m}, L=4\\ \mathrm{m}, \Delta p=2080\\ \mathrm{Pa}, \rho=998, \mu=1{,}0\cdot10^{-3}, V=0{,}88.
  • Experimento 5: D=2{,}0\\ \mathrm{cm}, L=6\\ \mathrm{m}, \Delta p=10500\\ \mathrm{Pa}, \rho=998, \mu=1{,}0\cdot10^{-3}, V=1{,}77.
  • Experimento 6: D=2{,}0\\ \mathrm{cm}, L=8\\ \mathrm{m}, \Delta p=30400\\ \mathrm{Pa}, \rho=998, \mu=1{,}0\cdot10^{-3}, V=2{,}74.
  • Experimento 7: D=3{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}03\\ \mathrm{m}, L=3\\ \mathrm{m}, \Delta p=540\\ \mathrm{Pa}, \rho=13550, \mu=1{,}56\cdot10^{-3}, V=0{,}20.
  • Experimento 8: D=3{,}0\\ \mathrm{cm}, L=4\\ \mathrm{m}, \Delta p=2480\\ \mathrm{Pa}, \rho=13550, \mu=1{,}56\cdot10^{-3}, V=0{,}39.
  • Experimento 9: D=3{,}0\\ \mathrm{cm}, L=5\\ \mathrm{m}, \Delta p=9600\\ \mathrm{Pa}, \rho=13550, \mu=1{,}56\cdot10^{-3}, V=0{,}67.

Passo 2

Breve aula: o teorema de Buckingham [\pi) diz que se uma grandeza depende de n variáveis e essas envolvem m dimensões fundamentais, então é possível formar n-m grupos adimensionais independentes \pi_i. Aqui as variáveis são \Delta p,\\ V,\\ \rho,\\ \mu,\\ L,\\ D (portanto n=6). As dimensões fundamentais são M (massa), L (comprimento) e T (tempo), logo m=3. Assim haverá 6-3=3 grupos adimensionais independentes. Estratégia prática: escolher três variáveis repetidas que juntas cubram M,L,T (não podem ser entre si adimensionais). Uma escolha natural é V (dimensão L\,T^{-1}), \rho (dimensão M\,L^{-3}) e D (dimensão L). Vou explicar como formar cada \pi-grupo.
Montagem do primeiro grupo: procure um produto \Delta p\cdot V^{a}\rho^{b}D^{c} tal que as dimensões se anulem.
  • Dimensões: \Delta p tem dimensão M\,L^{-1}\,T^{-2}. V^a tem L^{a}T^{-a}. \rho^{b} tem M^{b}L^{-3b}. D^{c} tem L^{c}.
    Juntando: M^{1+b}L^{-1+a-3b+c}T^{-2-a}. Para ser adimensional exijimos:
\begin{cases} 1+b=0,\\\\ -2-a=0,\\\\ -1+a-3b+c=0. \end{cases}
Resolvendo: b=-1\], \(a=-2, com isso c=0. Portanto um grupo é
\Pi_1=\frac{\Delta p}{\rho V^{2}}.
Interpretação física: \Pi_1 é o coeficiente de pressão adimensional (relacionado ao fator de atrito).
Segundo grupo: é natural obter o número de Reynolds. Tomando \rho^{\alpha}V^{\beta}D^{\gamma}\mu^{\delta} e anulando, obtém-se (rapidamente) o grupo clássico
\Pi_2=\frac{\rho V D}{\mu}\equiv \mathrm{Re}.
Terceiro grupo: com os repetidores escolhidos sobram L e D, e a razão óbvia adimensional é
\Pi_3=\frac{L}{D}.
Conclusão do passo: a forma adimensional geral é
\Pi_1=\frac{\Delta p}{\rho V^{2}}=\Phi\!\left(\Pi_2,\Pi_3\right)=\Phi\!\left(\mathrm{Re},\frac{L}{D}\right).
Isto responde (a): a queda de pressão, quando normalizada por \rho V^{2}, é função apenas de \mathrm{Re} e da razão geométrica L/D.

Passo 3

Agora vamos calcular os números adimensionais para cada experimento com os dados da tabela (peguei os números de \Delta p,\rho,\mu,D,L,V da tabela do enunciado).
Fórmulas que usei:
\mathrm{Re}=\frac{\rho V D}{\mu},\qquad \Pi_1=\frac{\Delta p}{\rho V^{2}}.
Mostro o cálculo detalhado do experimento 1 e depois listo os resultados dos 9 experimentos (arredondei a 3 algarismos significativos onde apropriado).
Exemplo (Exp. 1) — cálculo passo a passo:
  • D=0{,}01\\ \mathrm{m}, \rho=680, \mu=2{,}92\cdot10^{-4}, V=1{,}06.
  • \mathrm{Re}=\dfrac{680\cdot1{,}06\cdot0{,}01}{2{,}92\cdot10^{-4}} =\dfrac{7{,}208}{2{,}92\cdot10^{-4}}\approx 2{,}47\cdot10^{4}.
  • \Pi_1=\dfrac{4680}{680\cdot(1{,}06)^{2}} =\dfrac{4680}{680\cdot1{,}1236}\approx 6{,}13.
Resultados para todos os experimentos (valores arredondados):
  • Exp. 1: \mathrm{Re}\approx 2{,}47\cdot10^{4}, \Pi_1\approx 6{,}13.
  • Exp. 2: \mathrm{Re}\approx 4{,}94\cdot10^{4}, \Pi_1\approx 7{,}30.
  • Exp. 3: \mathrm{Re}\approx 8{,}25\cdot10^{4}, \Pi_1\approx 8{,}30.
  • Exp. 4: \mathrm{Re}\approx 1{,}76\cdot10^{4}, \Pi_1\approx 2{,}69.
  • Exp. 5: \mathrm{Re}\approx 3{,}53\cdot10^{4}, \Pi_1\approx 3{,}36.
  • Exp. 6: \mathrm{Re}\approx 5{,}47\cdot10^{4}, \Pi_1\approx 4{,}06.
  • Exp. 7: \mathrm{Re}\approx 5{,}21\cdot10^{4}, \Pi_1\approx 0{,}996.
  • Exp. 8: \mathrm{Re}\approx 1{,}02\cdot10^{5}, \Pi_1\approx 1{,}20.
  • Exp. 9: \mathrm{Re}\approx 1{,}75\cdot10^{5}, \Pi_1\approx 1{,}58.
Observação sobre o gráfico pedido em (b): plotar \Pi_1=\Delta p/(\rho V^{2}) no eixo vertical versus \mathrm{Re} no eixo horizontal (escala log–log) para os 9 pontos. Cada ponto corresponde a um experimento; é conveniente usar símbolos distintos para os três fluidos (gasolina, água, mercúrio) ou para os três diâmetros.

Passo 4

Melhor normalização usando a hipótese \Delta p\propto L (parte c) — passo a passo:
Se \Delta p é proporcional a L, então trabalhamos com a queda por unidade de comprimento \Delta p/L. Repetimos o processo adimensional com as variáveis \Delta p/L,\\ V,\\ \rho,\\ \mu,\\ D. Agora n=5, m=3 então restam 2 \pi-grupos. Escolhendo novamente \rho,\\ V,\\ D como repetidores obtemos (como mostro abaixo):
Procurando \Pi_1'=(\Delta p/L)\cdot\rho^{a}V^{b}D^{c} e anulando dimensões, segue-se o mesmo procedimento algébrico do Passo 2 e encontra-se
\Pi_1'=\frac{\Delta p\,D}{L\,\rho V^{2}}.
O segundo grupo é novamente \Pi_2=\mathrm{Re}=\dfrac{\rho V D}{\mu}. Portanto a forma simplificada é
\frac{\Delta p\,D}{L\,\rho V^{2}}=\Psi\!\left(\mathrm{Re}\right).
Relação com a formulação clássica de Darcy–Weisbach: a perda de carga no formato habitual é
\Delta p = f_D\frac{L}{D}\,\frac{\rho V^{2}}{2},
onde f_D é o fator de atrito de Darcy. Reescrevendo,
\frac{\Delta p\,D}{L\,\rho V^{2}}=\frac{f_D}{2}.
Logo o nosso \Pi_1' corresponde a metade do fator de atrito de Darcy.
Cálculo numérico de \Pi_1'=\dfrac{\Delta p D}{L \rho V^{2}} para os 9 experimentos (usei os \Pi_1 calculados antes e \Pi_1'=\Pi_1\cdot(D/L)):
  • Exp. 1: \Pi_1'\approx 6{,}13\cdot\frac{0{,}01}{5}=0{,}01226.
  • Exp. 2: \Pi_1'\approx 7{,}30\cdot\frac{0{,}01}{7}=0{,}01042.
  • Exp. 3: \Pi_1'\approx 8{,}30\cdot\frac{0{,}01}{9}=0{,}00923.
  • Exp. 4: \Pi_1'\approx 2{,}69\cdot\frac{0{,}02}{4}=0{,}01345.
  • Exp. 5: \Pi_1'\approx 3{,}36\cdot\frac{0{,}02}{6}=0{,}01120.
  • Exp. 6: \Pi_1'\approx 4{,}06\cdot\frac{0{,}02}{8}=0{,}01015.
  • Exp. 7: \Pi_1'\approx 0{,}996\cdot\frac{0{,}03}{3}=0{,}00996.
  • Exp. 8: \Pi_1'\approx 1{,}20\cdot\frac{0{,}03}{4}=0{,}00902.
  • Exp. 9: \Pi_1'\approx 1{,}58\cdot\frac{0{,}03}{5}=0{,}00947.
Para o gráfico melhorado peça-se: plotar \Pi_1'=\dfrac{\Delta p D}{L \rho V^{2}} versus \mathrm{Re} em escala log–log. Este gráfico é o equivalente empírico ao fator de atrito (metade do f_D) contra Reynolds; normalmente exibe um comportamento de potência, e é aí que entram os resultados de Blasius.

Passo 5

Comparação com Blasius e interpretação (resumo e justificativa, em poucas linhas):
  • Correlação empírica de Blasius para tubos suaves (regime turbulento moderado) é normalmente dada por
f_D\approx 0{,}3164\,\mathrm{Re}^{-1/4},
onde f_D é o fator de Darcy. Como \Pi_1'=\dfrac{f_D}{2}, a previsão de Blasius para \Pi_1' é
\Pi_1'\approx 0{,}1582\,\mathrm{Re}^{-1/4}.
  • Se compararmos os valores de \Pi_1' calculados acima com 0{,}1582\,\mathrm{Re}^{-1/4} para cada \mathrm{Re}, os pontos experimentais ficam próximos da curva de Blasius (diferenças pequenas, típicas de incertezas experimentais, condições de entrada não ideais e rugosidade limitada). Por exemplo, para \mathrm{Re}\sim2{,}5\cdot10^{4} Blasius prevê f_D\approx0{,}025 (logo \Pi_1'\approx0{,}0125), compatível com o Exp. 1 ( \Pi_1'\approx0{,}0123).
  • Conclusão: a melhoria com a hipótese \Delta p\propto L leva a um colapso dos dados em uma única curva \Pi_1'(\mathrm{Re}), em boa concordância com a lei de Blasius no intervalo de \mathrm{Re} testado — isto confirma que a dependência principal é pelo número de Reynolds e que a normalização por L e D era a escolha natural.

Passo 6

Como desenhar o gráfico na prática (dicas para a prova):
  • Use escala log–log; no eixo horizontal coloque \mathrm{Re} e no vertical \Pi_1'=\Delta p D/(L\rho V^2).
  • Marque os 9 pontos com símbolos distintos por fluido/diâmetro; trace também a curva de referência de Blasius \Pi_{1,\mathrm{Blasius}}=0{,}1582\,\mathrm{Re}^{-1/4}.
  • Se os pontos ficarem próximos da linha de Blasius, está demonstrado o acordo; se houver desvios grandes, comente possíveis causas (rugosidade, entradas, regime de transição, erro experimental).

Resposta

(a) \displaystyle \Pi_1=\frac{\Delta p}{\rho V^{2}},\qquad \Pi_2=\frac{\rho V D}{\mu}\equiv\mathrm{Re},\qquad \Pi_3=\frac{L}{D}; portanto \displaystyle \frac{\Delta p}{\rho V^{2}}=\Phi\!\left(\mathrm{Re},\frac{L}{D}\right).
(b) Gráfico sugerido: plotar \Pi_1=\dfrac{\Delta p}{\rho V^{2}} versus \mathrm{Re} (log–log). Valores calculados:
  • Exp.1: \mathrm{Re}\approx2{,}47\cdot10^{4},\\ \Pi_1\approx6{,}13.
  • Exp.2: \mathrm{Re}\approx4{,}94\cdot10^{4},\\ \Pi_1\approx7{,}30.
  • Exp.3: \mathrm{Re}\approx8{,}25\cdot10^{4},\\ \Pi_1\approx8{,}30.
  • Exp.4: \mathrm{Re}\approx1{,}76\cdot10^{4},\\ \Pi_1\approx2{,}69.
  • Exp.5: \mathrm{Re}\approx3{,}53\cdot10^{4},\\ \Pi_1\approx3{,}36.
  • Exp.6: \mathrm{Re}\approx5{,}47\cdot10^{4},\\ \Pi_1\approx4{,}06.
  • Exp.7: \mathrm{Re}\approx5{,}21\cdot10^{4},\\ \Pi_1\approx0{,}996.
  • Exp.8: \mathrm{Re}\approx1{,}02\cdot10^{5},\\ \Pi_1\approx1{,}20.
  • Exp.9: \mathrm{Re}\approx1{,}75\cdot10^{5},\\ \Pi_1\approx1{,}58.
    (c) Com \Delta p\propto L fica \displaystyle \frac{\Delta p\,D}{L\,\rho V^{2}}=\Psi(\mathrm{Re}) (isto é \Pi_1'=\dfrac{f_D}{2}). Valores \Pi_1'=\Delta p D/(L\rho V^{2}) calculados: 0{,}01226,\\\ 0{,}01042,\\\ 0{,}00923,\\\ 0{,}01345,\\\ 0{,}01120,\\\ 0{,}01015,\\\ 0{,}00996,\\\ 0{,}00902,\\\ 0{,}00947 (para Exp.1…9). Estes pontos colapsam bem numa curva \Pi_1'(\mathrm{Re}) e são compatíveis com a correlação de Blasius (previsão \Pi_1'\approx0{,}1582\,\mathrm{Re}^{-1/4}).

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