Questão (2pts): a queda de pressão devida ao atrito no escoamento em um tubo longo liso é uma função da velocidade média do escoamento, massa especifica, viscosidade, comprimento e diâmetro do tubo. \Delta p=f(V, \rho, \mu, L, D). Qual a variação de \Delta p com V. a) Utilize o teorema de \pi para reescrever esta função na forma adimensional. b) Elabore um gráfico da função utilizando os seguintes dados para três tubos e três fluidos (Tabela):
c) Suponha que \Delta p é proporcional a L (o que é verdadeiro para tubos longos, com entradas arredondadas). Utilize essas informações para simplificar e melhorar a formulação do teorema \pi. Elabore um gráfico adimensional nessa maneira melhorada e analise seus resultados com base nos experimentos de Blasius (justifique suas respostas - máximo 8 linhas).
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
(a) escrever a relação \Delta p=f(V,\rho,\mu,L,D) numa forma adimensional usando o teorema de \pi;
(b) construir um gráfico adimensional usando os dados da tabela (fornecidos na tabela: diâmetro D em cm, comprimento L em m, vazão Q em \mathrm{m}^3/\mathrm{s}, \Delta p em Pa, \rho em \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3, \mu em \mathrm{kg}/(\mathrm{m}\cdot\mathrm{s}), e V em \mathrm{m}/\mathrm{s} — eu peguei estes números da tabela do enunciado);
(c) supondo \Delta p\propto L, simplificar a formulação adimensional, construir um gráfico melhorado e comparar com os experimentos empíricos de Blasius (análise breve).
Dados relevantes retirados da tabela (peguei os valores diretamente da tabela do enunciado; converti D para metros onde necessário):
Breve aula: o teorema de Buckingham [\pi) diz que se uma grandeza depende de n variáveis e essas envolvem m dimensões fundamentais, então é possível formar n-m grupos adimensionais independentes \pi_i. Aqui as variáveis são \Delta p,\\ V,\\ \rho,\\ \mu,\\ L,\\ D (portanto n=6). As dimensões fundamentais são M (massa), L (comprimento) e T (tempo), logo m=3. Assim haverá 6-3=3 grupos adimensionais independentes. Estratégia prática: escolher três variáveis repetidas que juntas cubram M,L,T (não podem ser entre si adimensionais). Uma escolha natural é V (dimensão L\,T^{-1}), \rho (dimensão M\,L^{-3}) e D (dimensão L). Vou explicar como formar cada \pi-grupo.
Montagem do primeiro grupo: procure um produto \Delta p\cdot V^{a}\rho^{b}D^{c} tal que as dimensões se anulem.
Dimensões: \Delta p tem dimensão M\,L^{-1}\,T^{-2}. V^a tem L^{a}T^{-a}. \rho^{b} tem M^{b}L^{-3b}. D^{c} tem L^{c}.
Juntando: M^{1+b}L^{-1+a-3b+c}T^{-2-a}. Para ser adimensional exijimos:
Resolvendo: b=-1\], \(a=-2, com isso c=0. Portanto um grupo é
\Pi_1=\frac{\Delta p}{\rho V^{2}}.
Interpretação física: \Pi_1 é o coeficiente de pressão adimensional (relacionado ao fator de atrito).
Segundo grupo: é natural obter o número de Reynolds. Tomando \rho^{\alpha}V^{\beta}D^{\gamma}\mu^{\delta} e anulando, obtém-se (rapidamente) o grupo clássico
\Pi_2=\frac{\rho V D}{\mu}\equiv \mathrm{Re}.
Terceiro grupo: com os repetidores escolhidos sobram L e D, e a razão óbvia adimensional é
Isto responde (a): a queda de pressão, quando normalizada por \rho V^{2}, é função apenas de \mathrm{Re} e da razão geométrica L/D.
Passo 3
Agora vamos calcular os números adimensionais para cada experimento com os dados da tabela (peguei os números de \Delta p,\rho,\mu,D,L,V da tabela do enunciado).
Fórmulas que usei:
\mathrm{Re}=\frac{\rho V D}{\mu},\qquad \Pi_1=\frac{\Delta p}{\rho V^{2}}.
Mostro o cálculo detalhado do experimento 1 e depois listo os resultados dos 9 experimentos (arredondei a 3 algarismos significativos onde apropriado).
Observação sobre o gráfico pedido em (b): plotar \Pi_1=\Delta p/(\rho V^{2}) no eixo vertical versus \mathrm{Re} no eixo horizontal (escala log–log) para os 9 pontos. Cada ponto corresponde a um experimento; é conveniente usar símbolos distintos para os três fluidos (gasolina, água, mercúrio) ou para os três diâmetros.
Passo 4
Melhor normalização usando a hipótese \Delta p\propto L (parte c) — passo a passo:
Se \Delta p é proporcional a L, então trabalhamos com a queda por unidade de comprimento \Delta p/L. Repetimos o processo adimensional com as variáveis \Delta p/L,\\ V,\\ \rho,\\ \mu,\\ D. Agora n=5, m=3 então restam 2\pi-grupos. Escolhendo novamente \rho,\\ V,\\ D como repetidores obtemos (como mostro abaixo):
Procurando \Pi_1'=(\Delta p/L)\cdot\rho^{a}V^{b}D^{c} e anulando dimensões, segue-se o mesmo procedimento algébrico do Passo 2 e encontra-se
\Pi_1'=\frac{\Delta p\,D}{L\,\rho V^{2}}.
O segundo grupo é novamente \Pi_2=\mathrm{Re}=\dfrac{\rho V D}{\mu}. Portanto a forma simplificada é
Para o gráfico melhorado peça-se: plotar \Pi_1'=\dfrac{\Delta p D}{L \rho V^{2}} versus \mathrm{Re} em escala log–log. Este gráfico é o equivalente empírico ao fator de atrito (metade do f_D) contra Reynolds; normalmente exibe um comportamento de potência, e é aí que entram os resultados de Blasius.
Passo 5
Comparação com Blasius e interpretação (resumo e justificativa, em poucas linhas):
Correlação empírica de Blasius para tubos suaves (regime turbulento moderado) é normalmente dada por
f_D\approx 0{,}3164\,\mathrm{Re}^{-1/4},
onde f_D é o fator de Darcy. Como \Pi_1'=\dfrac{f_D}{2}, a previsão de Blasius para \Pi_1' é
\Pi_1'\approx 0{,}1582\,\mathrm{Re}^{-1/4}.
Se compararmos os valores de \Pi_1' calculados acima com 0{,}1582\,\mathrm{Re}^{-1/4} para cada \mathrm{Re}, os pontos experimentais ficam próximos da curva de Blasius (diferenças pequenas, típicas de incertezas experimentais, condições de entrada não ideais e rugosidade limitada). Por exemplo, para \mathrm{Re}\sim2{,}5\cdot10^{4} Blasius prevê f_D\approx0{,}025 (logo \Pi_1'\approx0{,}0125), compatível com o Exp. 1 (\Pi_1'\approx0{,}0123).
Conclusão: a melhoria com a hipótese \Delta p\propto L leva a um colapso dos dados em uma única curva \Pi_1'(\mathrm{Re}), em boa concordância com a lei de Blasius no intervalo de \mathrm{Re} testado — isto confirma que a dependência principal é pelo número de Reynolds e que a normalização por L e D era a escolha natural.
Passo 6
Como desenhar o gráfico na prática (dicas para a prova):
Use escala log–log; no eixo horizontal coloque \mathrm{Re} e no vertical \Pi_1'=\Delta p D/(L\rho V^2).
Marque os 9 pontos com símbolos distintos por fluido/diâmetro; trace também a curva de referência de Blasius \Pi_{1,\mathrm{Blasius}}=0{,}1582\,\mathrm{Re}^{-1/4}.
Se os pontos ficarem próximos da linha de Blasius, está demonstrado o acordo; se houver desvios grandes, comente possíveis causas (rugosidade, entradas, regime de transição, erro experimental).
Exp.9: \mathrm{Re}\approx1{,}75\cdot10^{5},\\ \Pi_1\approx1{,}58.
(c) Com \Delta p\propto L fica \displaystyle \frac{\Delta p\,D}{L\,\rho V^{2}}=\Psi(\mathrm{Re}) (isto é \Pi_1'=\dfrac{f_D}{2}). Valores \Pi_1'=\Delta p D/(L\rho V^{2}) calculados: 0{,}01226,\\\ 0{,}01042,\\\ 0{,}00923,\\\ 0{,}01345,\\\ 0{,}01120,\\\ 0{,}01015,\\\ 0{,}00996,\\\ 0{,}00902,\\\ 0{,}00947 (para Exp.1…9). Estes pontos colapsam bem numa curva \Pi_1'(\mathrm{Re}) e são compatíveis com a correlação de Blasius (previsão \Pi_1'\approx0{,}1582\,\mathrm{Re}^{-1/4}).