Questão 15.0 - A seguinte tabela fornece os valores de pressão e temperatura das camadas superiores da atmosfera em função da altitude:
Altitude/ km P/ mbar T/ K
20,0 56 220
40,0 3,2 260
60,0 0,28 260
80,0 0,013 180
Por simplicidade considere que o ar é composto apenas de nitrogênio, calcule o livre caminho médio para cada uma das camadas e justifique. O livre caminho médio 1(\mathrm{~m}) é entendido como a distância que a partícula percorre entre colisões e a fórmula que a descreve é:
l=\frac{R T}{2^{1 / 2} N_{A} \sigma P}
Considere (seção de choque da colisão) \sigma=0,450 \times 10^{-18} \mathrm{~m}^{2}

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule o livre caminho médio para cada uma das camadas da tabela. Dados fornecidos (copiados da tabela):\n
Altitude 20{,}0\\ \mathrm{km}: P=56\\ \mathrm{mbar}, T=220\\ \mathrm{K}.\n
Altitude 40{,}0\\ \mathrm{km}: P=3{,}2\\ \mathrm{mbar}, T=260\\ \mathrm{K}.\n
Altitude 60{,}0\\ \mathrm{km}: P=0{,}28\\ \mathrm{mbar}, T=260\\ \mathrm{K}.\n
Altitude 80{,}0\\ \mathrm{km}: P=0{,}013\\ \mathrm{mbar}, T=180\\ \mathrm{K}.\n
Seção de choque dada: \sigma=0{,}450\times10^{-18}\\ \mathrm{m^{2}}.\n
Fórmula a usar (fornecida no enunciado):\n
l=\frac{R\,T}{2^{1/2}\,N_{A}\,\sigma\,P}
A tarefa é calcular l para cada linha da tabela e justificar (usar os dados acima, fazer conversões necessárias).

Passo 2

Entendendo a fórmula e o que cada símbolo significa (mini-aula bem prática):\n
  • l é o livre caminho médio (distância média entre colisões) que queremos.\n
  • R é a constante universal dos gases, \;R=8{,}314462618\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}.\n
  • T é a temperatura absoluta em kelvin (dada na tabela).\n
  • N_{A} é o número de Avogadro, \;N_{A}=6{,}02214076\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}.\n
  • \sigma é a seção de choque (área efetiva de colisão) dada no enunciado.\n
  • P é a pressão absoluta em pascal; atenção: na tabela P está em \mathrm{mbar}, então preciso converter para \mathrm{Pa} (1 mbar =100\\ \mathrm{Pa}).\n
    Breve derivação (para fixar a intuição): o livre caminho médio também se escreve como\n
l=\frac{1}{\sqrt{2}\,n\,\sigma},
onde n é a densidade numérica (número de moléculas por volume). Pela equação dos gases perfeitos \;n=\dfrac{P}{k_{B}T}, com k_{B} a constante de Boltzmann; usando k_{B}=R/N_{A} obtemos exatamente a fórmula do enunciado. Ou seja: menos pressão \Rightarrow menor n \Rightarrow maior l.

Passo 3

Conversão das pressões da tabela de \mathrm{mbar} para \mathrm{Pa} (multiplicar por 100):\n
\;P_{20}=56\\ \mathrm{mbar}=56\times100=5600\\ \mathrm{Pa}.\n
\;P_{40}=3{,}2\\ \mathrm{mbar}=3{,}2\times100=320\\ \mathrm{Pa}.\n
\;P_{60}=0{,}28\\ \mathrm{mbar}=0{,}28\times100=28\\ \mathrm{Pa}.\n
\;P_{80}=0{,}013\\ \mathrm{mbar}=0{,}013\times100=1{,}3\\ \mathrm{Pa}.

Passo 4

Vou calcular um fator comum do denominador para simplificar os cálculos:\n
Calcule N_{A}\sigma:\n
N_{A}\sigma = (6{,}02214076\times10^{23})\times(0{,}450\times10^{-18}) =2{,}709963342\times10^{5}.\n
Agora multiplico por 2^{1/2}:\n
2^{1/2}N_{A}\sigma \approx 1{,}41421356\times2{,}709963342\times10^{5} =3{,}83244814\times10^{5}.\n
Esse valor é o coeficiente que será multiplicado por P (em pascal) no denominador: \; \text{denomConst}=3{,}83244814\times10^{5}.

Passo 5

Cálculo para altitude \;20{,}0\\ \mathrm{km}:\n
  • T=220\\ \mathrm{K}. Numerador:\n
R\,T=8{,}314462618\times220=1\,829{,}181776\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}.\n
  • Denominador: \text{denomConst}\times P_{20}=3{,}83244814\times10^{5}\times5600=2{,}146{,}170{,}958{,}4\times10^{9}.\n
  • Logo\n
l_{20}=\frac{1\,829{,}181776}{2{,}146{,}170{,}958{,}4\times10^{9}} \approx8{,}52\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.\n
Interpretação rápida: isso é cerca de 0{,}85\\ \mu\mathrm{m} (micrômetro).

Passo 6

Cálculo para altitude \;40{,}0\\ \mathrm{km}:\n
  • T=260\\ \mathrm{K}. Numerador:\n
R\,T=8{,}314462618\times260=2\,161{,}76028068\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}.\n
  • Denominador: \text{denomConst}\times P_{40}=3{,}83244814\times10^{5}\times320=1{,}226{,}383{,}404{,}8\times10^{8}.\n
  • Logo\n
l_{40}=\frac{2\,161{,}76028068}{1{,}226{,}383{,}404{,}8}\approx1{,}76\times10^{-5}\\ \mathrm{m}.\n
Interpretação: cerca de 17{,}6\\ \mu\mathrm{m}.

Passo 7

Cálculo para altitude \;60{,}0\\ \mathrm{km}:\n
  • T=260\\ \mathrm{K} (mesmo numerador que no passo anterior): R\,T=2\,161{,}76028068\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}.\n
  • Denominador: \text{denomConst}\times P_{60}=3{,}83244814\times10^{5}\times28=1{,}073{,}085{,}479{,}2\times10^{7}.\n
  • Logo\n
l_{60}=\frac{2\,161{,}76028068}{1{,}073{,}085{,}479{,}2}\approx2{,}01\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.\n
Interpretação: cerca de 2{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m}=201{,}5\\ \mu\mathrm{m} (ou 0{,}2015\\ \mathrm{mm}).

Passo 8

Cálculo para altitude \;80{,}0\\ \mathrm{km}:\n
  • T=180\\ \mathrm{K}. Numerador:\n
R\,T=8{,}314462618\times180=1\,496{,}60327124\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}.\n
  • Denominador: \text{denomConst}\times P_{80}=3{,}83244814\times10^{5}\times1{,}3=4{,}982{,}182{,}582\times10^{5}.\n
  • Logo\n
l_{80}=\frac{1\,496{,}60327124}{4{,}982{,}182{,}582\times10^{5}} \approx3{,}00\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.\n
Interpretação: cerca de 3{,}0\\ \mathrm{mm}.

Passo 9

Justificativa e observações finais (curtas, pra você levar pra prova):\n
  • O livre caminho médio cresce fortemente com a altitude porque a pressão cai muito (menos moléculas por volume \Rightarrow menos colisões).\n
  • Usei a aproximação do ar composto só por nitrogênio e seção de choque constante; na prática a seção de choque pode depender de temperatura e da mistura de gases, mas para exercício isso é aceitável.\n
  • As contas foram feitas sem calculadora simbólica, mostrando como organizar numeradores e denominadores; na prova, calcule passo a passo como fiz (converter pressão, calcular R\,T, calcular a constante do denominador e dividir).

Resposta

20{,}0 km: 8{,}52\times10^{-7}\\ \mathrm{m}\n
40{,}0 km: 1{,}76\times10^{-5}\\ \mathrm{m}\n
60{,}0 km: 2{,}01\times10^{-4}\\ \mathrm{m}\n
80{,}0 km: 3{,}00\times10^{-3}\\ \mathrm{m}

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