( \mathbf{1 , 0} pontos ) A fábrica X produz 8 tipos de bombons que são vendidos em caixas de 30 bombons (de um mesmo tipo ou sortido). Quantas caixas diferentes podem ser formadas?

Passo 1

O enunciado pergunta: “Quantas caixas diferentes podem ser formadas?”\n
Informações dadas no enunciado:
  • 8 tipos distintos de bombons.
  • Cada caixa contém exatamente 30 bombons.
  • Uma caixa pode conter bombons todos de um mesmo tipo ou uma mistura (sortida) dos tipos.
  • A ordem dentro da caixa não importa (só conta quantos de cada tipo há).

Passo 2

Modelagem do problema com variáveis:\n
Vamos representar por x_i o número de bombons do tipo i que aparecem em uma caixa, para i=1,2,\dots,8. Cada x_i é um número inteiro não-negativo (pode ser 0 se um tipo não aparecer). A condição “a caixa tem 30 bombons” vira a equação
x_1+x_2+\cdots+x_8=30,
com x_i\in\{0,1,2,\dots\} para todo i.\n
Portanto contar quantas caixas diferentes existem equivale a contar o número de soluções não-negativas inteiras dessa equação.

Passo 3

Explicação do método “estrelas e barras” (razão da fórmula que vamos usar):\n
Queremos contar todas as sequências (x_1,\dots,x_8) de inteiros não-negativos que somam 30. A ideia intuitiva é representar os 30 bombons por 30 estrelas alinhadas e usar “barras” para separar quantas estrelas correspondem a cada tipo. Por exemplo, se tivermos 8 tipos, precisamos de 7 barras para criar 8 compartimentos. Um arranjo típico de estrelas e barras é algo como
\ast\ast \mid \ast\ast\ast\ast \mid \mid \ast\cdots
onde o número de estrelas no primeiro compartimento é x_1, no segundo x_2, etc.\n
Qualquer solução (x_1,\dots,x_8) corresponde a um arranjo distinto de 30 estrelas e 7 barras sobre uma linha, e vice-versa. Assim o problema se reduz a: de quantas maneiras podemos escolher posições para as 7 barras entre as 30+7 posições totais (as demais serão estrelas).\n
Logo o número de soluções é o número de formas de escolher 7 posições entre 30+7 posições, ou seja o coeficiente binomial
\binom{30+8-1}{8-1}=\binom{37}{7}.
Breve interpretação do que cada símbolo significa: em \binom{37}{7}, o 37 é o total de espaços (as 30 estrelas mais as 7 barras) e o 7 é quantas posições vamos escolher para as barras.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao nosso caso:\n
Substituímos 30 e 8 na fórmula \binom{n+k-1}{k-1} (onde n é o total de itens, aqui 30, e k é o número de tipos, aqui 8). Obtemos
\binom{37}{7}.

Passo 5

Cálculo numérico de \binom{37}{7} de forma que você consiga reproduzir sem calculadora (reduzindo fatores):\n
Usamos a forma
\binom{37}{7}=\frac{31\cdot32\cdot33\cdot34\cdot35\cdot36\cdot37}{7!}.
Agora simplificamos termo a termo:
\frac{31}{1}=31,\qquad \frac{32}{2}=16,\qquad \frac{33}{3}=11,
\frac{34}{4}=\frac{17}{2},\qquad \frac{35}{5}=7,\qquad \frac{36}{6}=6,\qquad \frac{37}{7}=\frac{37}{7}.
Podemos cancelar o 7 de \frac{35}{5}=7 com o denominador 7 final. Então ficamos com
31\cdot16\cdot11\cdot\frac{17}{2}\cdot6\cdot37.
Agrupando 16\cdot6=96 e aplicando \frac{17}{2} temos 96\cdot\frac{17}{2}=48\cdot17=816. Assim o produto vira
31\cdot11\cdot816\cdot37.
Calculando passo a passo:
31\cdot11=341,
341\cdot816=278\,256,
278\,256\cdot37=10\,295\,472.

Passo 6

Interpretação final e checagem:\n
Portanto o número de caixas diferentes (considerando apenas quantidades de cada tipo e que a ordem dentro da caixa não importa) é \binom{37}{7}, que vale 10\,295\,472. Se quiser, dá para verificar com uma calculadora ou software que \binom{37}{7}=10\,295\,472.

Resposta

\binom{37}{7}=10\,295\,472

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