(
pontos ) A fábrica X produz 8 tipos de bombons que são vendidos em caixas de 30 bombons (de um mesmo tipo ou sortido). Quantas caixas diferentes podem ser formadas?
Passo 1
O enunciado pergunta: “Quantas caixas diferentes podem ser formadas?”\n
Informações dadas no enunciado:
Informações dadas no enunciado:
- Há
tipos distintos de bombons. - Cada caixa contém exatamente
bombons. - Uma caixa pode conter bombons todos de um mesmo tipo ou uma mistura (sortida) dos tipos.
- A ordem dentro da caixa não importa (só conta quantos de cada tipo há).
Passo 2
Modelagem do problema com variáveis:\n
Vamos representar por o número de bombons do tipo
que aparecem em uma caixa, para
. Cada
é um número inteiro não-negativo (pode ser
se um tipo não aparecer). A condição “a caixa tem
bombons” vira a equação
Vamos representar por
com
para todo
.\n
Portanto contar quantas caixas diferentes existem equivale a contar o número de soluções não-negativas inteiras dessa equação.
Portanto contar quantas caixas diferentes existem equivale a contar o número de soluções não-negativas inteiras dessa equação.
Passo 3
Explicação do método “estrelas e barras” (razão da fórmula que vamos usar):\n
Queremos contar todas as sequências de inteiros não-negativos que somam
. A ideia intuitiva é representar os
bombons por
estrelas alinhadas e usar “barras” para separar quantas estrelas correspondem a cada tipo. Por exemplo, se tivermos
tipos, precisamos de
barras para criar
compartimentos. Um arranjo típico de estrelas e barras é algo como
Queremos contar todas as sequências
onde o número de estrelas no primeiro compartimento é
, no segundo
, etc.\n
Qualquer solução corresponde a um arranjo distinto de
estrelas e
barras sobre uma linha, e vice-versa. Assim o problema se reduz a: de quantas maneiras podemos escolher posições para as
barras entre as
posições totais (as demais serão estrelas).\n
Logo o número de soluções é o número de formas de escolher posições entre
posições, ou seja o coeficiente binomial
Qualquer solução
Logo o número de soluções é o número de formas de escolher
Breve interpretação do que cada símbolo significa: em
, o
é o total de espaços (as
estrelas mais as
barras) e o
é quantas posições vamos escolher para as barras.
Passo 4
Aplicando a fórmula ao nosso caso:\n
Substituímos e
na fórmula
(onde
é o total de itens, aqui
, e
é o número de tipos, aqui
). Obtemos
Substituímos
Passo 5
Cálculo numérico de
de forma que você consiga reproduzir sem calculadora (reduzindo fatores):\n
Usamos a forma
Usamos a forma
Agora simplificamos termo a termo:
Podemos cancelar o
de
com o denominador
final. Então ficamos com
Agrupando
e aplicando
temos
. Assim o produto vira
Calculando passo a passo:
Passo 6
Interpretação final e checagem:\n
Portanto o número de caixas diferentes (considerando apenas quantidades de cada tipo e que a ordem dentro da caixa não importa) é , que vale
. Se quiser, dá para verificar com uma calculadora ou software que
.
Portanto o número de caixas diferentes (considerando apenas quantidades de cada tipo e que a ordem dentro da caixa não importa) é