(
pontos ) Determine o número de permutações de (
) nas quais nem o 4 ocupa o 4 lugar nem o 6 ocupa o 6 lugar.
Passo 1
O problema pede: determinar o número de permutações dos elementos
nas quais nem o
ocupa a posição
nem o
ocupa a posição
.\n
Informações dadas importantes:
Informações dadas importantes:
Não há outras restrições.
Passo 2
Vamos contar todas as permutações possíveis e excluir as que violam as condições. Para organizar a contagem, definimos dois conjuntos de permutações:
Queremos o número de permutações que não pertencem nem a
nem a
, isto é, o complemento de
.
Passo 3
Calcular
: se o
está fixo na posição
, os outros
elementos (
) podem ser permutados livremente nas demais
posições. O número de maneiras é
Lembrete didático:
(fatorial) significa o produto
. Então
Passo 4
Calcular
: de forma análoga, se o
está fixo na posição
, os outros
elementos podem ser permutados nas restantes
posições. Assim
Passo 5
Calcular
: se tanto o
está na posição
quanto o
está na posição
, restam
elementos a serem permutados livremente nas
posições restantes. Portanto
E
Passo 6
Aplicar o princípio da inclusão-exclusão para contar permutações que não estão em
nem em
. O número total de permutações de
elementos é
O número de permutações que não têm
na posição
nem
na posição
é
A razão do sinal
no final é evitar subtrair duas vezes as permutações onde ambos estão fixos (essas pertencem a
e a
ao mesmo tempo).
Passo 7
Substituindo os valores:
Fazendo as contas passo a passo: