( \mathbf{1 , 0} pontos ) Determine o número de permutações de ( 1,2,3,4,5,6 ) nas quais nem o 4 ocupa o 4 lugar nem o 6 ocupa o 6 lugar.

Passo 1

O problema pede: determinar o número de permutações dos elementos (1,2,3,4,5,6) nas quais nem o 4 ocupa a posição 4 nem o 6 ocupa a posição 6.\n
Informações dadas importantes:
\text{Conjunto de elementos: }\{1,2,3,4,5,6\}.
\text{Condição: a posição 4 não pode conter o elemento }4\text{ e a posição 6 não pode conter o elemento }6.çãçããçãã
Não há outras restrições.

Passo 2

Vamos contar todas as permutações possíveis e excluir as que violam as condições. Para organizar a contagem, definimos dois conjuntos de permutações:
A=\{\text{permutações em que o elemento }4\text{ está na posição }4\},çõáçã
B=\{\text{permutações em que o elemento }6\text{ está na posição }6\}.çõáçã
Queremos o número de permutações que não pertencem nem a A nem a B, isto é, o complemento de A\cup B.

Passo 3

Calcular |A|: se o 4 está fixo na posição 4, os outros 5 elementos ( 1,2,3,5,6) podem ser permutados livremente nas demais 5 posições. O número de maneiras é
|A|=5!.
Lembrete didático: \,n!\, (fatorial) significa o produto \,n!=n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot1. Então
5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=120.

Passo 4

Calcular |B|: de forma análoga, se o 6 está fixo na posição 6, os outros 5 elementos podem ser permutados nas restantes 5 posições. Assim
|B|=5!=120.

Passo 5

Calcular |A\cap B|: se tanto o 4 está na posição 4 quanto o 6 está na posição 6, restam 4 elementos a serem permutados livremente nas 4 posições restantes. Portanto
|A\cap B|=4!.
E
4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24.

Passo 6

Aplicar o princípio da inclusão-exclusão para contar permutações que não estão em A nem em B. O número total de permutações de 6 elementos é
6!=6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=720.
O número de permutações que não têm 4 na posição 4 nem 6 na posição 6 é
\text{total} - |A| - |B| + |A\cap B|.
A razão do sinal + no final é evitar subtrair duas vezes as permutações onde ambos estão fixos (essas pertencem a A e a B ao mesmo tempo).

Passo 7

Substituindo os valores:
6!-|A|-|B|+|A\cap B| = 720 - 120 - 120 + 24.
Fazendo as contas passo a passo:
720-120=600,
600-120=480,
480+24=504.

Resposta

504

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