(
pontos) De quantos modos
casais podem formar uma roda de ciranda de modo que cada homem permaneça ao lado de sua mulher?
Passo 1
O enunciado pergunta: de quantos modos
casais podem formar uma roda de ciranda de modo que cada homem permaneça ao lado de sua mulher?\n
Informações dadas e hipóteses que vou usar (claras e necessárias para resolver):
Informações dadas e hipóteses que vou usar (claras e necessárias para resolver):
- Há
casais distintos, logo pessoas no total. - A condição obrigatória é que, para cada casal, o homem e a mulher estejam sentados em assentos adjacentes (ou seja, juntos).
- Vou assumir a interpretação padrão de “roda de ciranda”: arranjos que diferem apenas por rotação são considerados o mesmo arranjo (isto é, não contamos rotações distintas). Reflexões (espelhamentos) serão consideradas diferentes, salvo indicação contrária no enunciado.
Passo 2
Transformação do problema em blocos: como cada casal deve ficar junto, é natural tratar cada casal como um “bloco” indivisível. Então, em vez de arranjar
pessoas livremente, primeiro arranjamos
blocos distintos (cada bloco é um casal). Isso reduz o problema a: de quantas maneiras podemos colocar
objetos distintos em círculo?
Passo 3
Contando arranjos circulares de
blocos: a fórmula padrão para permutar
objetos distintos em círculo (quando rotações são consideradas iguais) é
Explicação curta do porquê: se fixamos um bloco como referência (por exemplo, o bloco 1) para eliminar a simetria por rotação, resta permutar os outros
blocos em linha, o que dá
maneiras. Aqui temos
, logo o número de maneiras de dispor os
blocos ao redor da roda é
Passo 4
Contando as ordens internas de cada bloco: dentro de cada casal (bloco) há duas formas de sentar as duas pessoas — o homem à direita da mulher ou o homem à esquerda da mulher. Para um casal isso dá
possibilidades. Como as escolhas para casais diferentes são independentes, pelo princípio multiplicativo o número de escolhas internas para todos os
blocos é
Aqui explico o princípio: se uma etapa do arranjo tem
opções e uma etapa independente tem
opções, então juntas têm
opções; estendendo para
casais dá
.
Passo 5
Combinação das contagens: agora combinamos as duas etapas (arranjar os blocos ao redor da roda e escolher a orientação interna de cada bloco). Pelo princípio multiplicativo novamente, o número total de arranjos que satisfazem a condição é
Passo 6
Checagem com um exemplo pequeno para ganhar intuição: tome
. A fórmula dá
Podemos verificar mentalmente: com dois casais
e
, fixando rotações, há 2 maneiras de ordenar os blocos (na verdade apenas 1 distinta por rotação, daí o
), e cada um dos 2 casais tem 2 orientações internas, totalizando
. Faz sentido.
Passo 7
Observação sobre reflexões (ambiguidade que pode aparecer em enunciados): se o enunciado tratasse reflexões como iguais (isto é, se girar e também virar a roda de cabeça para baixo fosse considerado o mesmo arranjo), então deveríamos dividir por
. Como isso não foi especificado, mantivemos a interpretação padrão (rotações iguais, reflexões diferentes).