( \mathbf{1 , 0} pontos) De quantos modos n casais podem formar uma roda de ciranda de modo que cada homem permaneça ao lado de sua mulher?

Passo 1

O enunciado pergunta: de quantos modos n casais podem formar uma roda de ciranda de modo que cada homem permaneça ao lado de sua mulher?\n
Informações dadas e hipóteses que vou usar (claras e necessárias para resolver):
  • n casais distintos, logo 2n pessoas no total.
  • A condição obrigatória é que, para cada casal, o homem e a mulher estejam sentados em assentos adjacentes (ou seja, juntos).
  • Vou assumir a interpretação padrão de “roda de ciranda”: arranjos que diferem apenas por rotação são considerados o mesmo arranjo (isto é, não contamos rotações distintas). Reflexões (espelhamentos) serão consideradas diferentes, salvo indicação contrária no enunciado.

Passo 2

Transformação do problema em blocos: como cada casal deve ficar junto, é natural tratar cada casal como um “bloco” indivisível. Então, em vez de arranjar 2n pessoas livremente, primeiro arranjamos n blocos distintos (cada bloco é um casal). Isso reduz o problema a: de quantas maneiras podemos colocar n objetos distintos em círculo?

Passo 3

Contando arranjos circulares de n blocos: a fórmula padrão para permutar k objetos distintos em círculo (quando rotações são consideradas iguais) é
(k-1)!.
Explicação curta do porquê: se fixamos um bloco como referência (por exemplo, o bloco 1) para eliminar a simetria por rotação, resta permutar os outros k-1 blocos em linha, o que dá (k-1)! maneiras. Aqui temos k=n, logo o número de maneiras de dispor os n blocos ao redor da roda é
(n-1)!.

Passo 4

Contando as ordens internas de cada bloco: dentro de cada casal (bloco) há duas formas de sentar as duas pessoas — o homem à direita da mulher ou o homem à esquerda da mulher. Para um casal isso dá 2 possibilidades. Como as escolhas para casais diferentes são independentes, pelo princípio multiplicativo o número de escolhas internas para todos os n blocos é
2\times 2\times\cdots\times 2 = 2^n.
Aqui explico o princípio: se uma etapa do arranjo tem a opções e uma etapa independente tem b opções, então juntas têm a\cdot b opções; estendendo para n casais dá 2^n.

Passo 5

Combinação das contagens: agora combinamos as duas etapas (arranjar os blocos ao redor da roda e escolher a orientação interna de cada bloco). Pelo princípio multiplicativo novamente, o número total de arranjos que satisfazem a condição é
(n-1)! \cdot 2^n.

Passo 6

Checagem com um exemplo pequeno para ganhar intuição: tome n=2. A fórmula dá
(2-1)!\cdot 2^2 = 1\cdot 4 = 4.
Podemos verificar mentalmente: com dois casais A e B, fixando rotações, há 2 maneiras de ordenar os blocos (na verdade apenas 1 distinta por rotação, daí o (2-1)!), e cada um dos 2 casais tem 2 orientações internas, totalizando 4. Faz sentido.

Passo 7

Observação sobre reflexões (ambiguidade que pode aparecer em enunciados): se o enunciado tratasse reflexões como iguais (isto é, se girar e também virar a roda de cabeça para baixo fosse considerado o mesmo arranjo), então deveríamos dividir por 2. Como isso não foi especificado, mantivemos a interpretação padrão (rotações iguais, reflexões diferentes).

Resposta

(n-1)!\cdot 2^n

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