(
pontos ) Qual é o número mínimo de pessoas que deve haver em um grupo para que possamos garantir que nele haja pelo menos 5 pessoas nascidas no mesmo mês?
Passo 1
O enunciado pergunta qual é o número mínimo de pessoas que deve haver em um grupo para que possamos garantir que nele haja pelo menos
pessoas nascidas no mesmo mês.
Informações dadas e relevantes: há meses no ano (cada pessoa nasceu em um desses
meses). Não há mais informações adicionais sobre restrições — só importa a distribuição das datas de nascimento entre os meses.
Informações dadas e relevantes: há
Passo 2
Vamos entender o que significa “garantir” aqui. Garantir que exista um mês com pelo menos
pessoas significa que, não importa como as nascimentos estejam distribuídos entre os
meses, aquela quantidade mínima de pessoas no grupo força, em todo caso, que algum mês tenha
ou mais nascimentos. Para encontrar esse número mínimo consideramos o pior caso possível: tentamos distribuir as pessoas entre os meses de forma a evitar que qualquer mês alcance
pessoas. Se encontrarmos quantas pessoas dá para colocar sem atingir
em nenhum mês, então basta adicionar uma pessoa a esse número máximo para obrigar que algum mês tenha
.
Passo 3
Qual é o máximo de pessoas que podemos ter sem que exista algum mês com
pessoas? Se quisermos evitar ter
em um mesmo mês, em cada mês podemos ter no máximo
pessoas. Como há
meses, o máximo total sem atingir
em nenhum mês é
Calculemos:
Passo 4
Portanto, é possível ter
pessoas distribuídas de modo que nenhum mês tenha
pessoas (por exemplo, exatamente
pessoas em cada mês). Isso mostra que
não é suficiente para garantir que exista um mês com
pessoas.
Passo 5
Se adicionarmos mais uma pessoa a esse cenário de pior caso, teremos
pessoas. Essa pessoa terá que pertencer a algum dos
meses, e adicionando-a a esse mês (que já tinha no máximo
) fará esse mês passar a ter
pessoas. Logo, com
pessoas é impossível evitar que algum mês atinja
. Em fórmula geral, para garantir pelo menos
objetos em alguma das
caixas precisamos de pelo menos
Aqui
e
, então
Passo 6
Concluímos que o menor número de pessoas que garante que exista um mês com pelo menos
nascimentos é
. Repetindo de forma intuitiva: com
pessoas podemos evitar
em qualquer mês (colocando
em cada mês); com
pessoas isso já não é possível — algum mês terá pelo menos
.