( \mathbf{1 , 0} pontos ) Qual é o número mínimo de pessoas que deve haver em um grupo para que possamos garantir que nele haja pelo menos 5 pessoas nascidas no mesmo mês?

Passo 1

O enunciado pergunta qual é o número mínimo de pessoas que deve haver em um grupo para que possamos garantir que nele haja pelo menos 5 pessoas nascidas no mesmo mês.
Informações dadas e relevantes: há 12 meses no ano (cada pessoa nasceu em um desses 12 meses). Não há mais informações adicionais sobre restrições — só importa a distribuição das datas de nascimento entre os meses.

Passo 2

Vamos entender o que significa “garantir” aqui. Garantir que exista um mês com pelo menos 5 pessoas significa que, não importa como as nascimentos estejam distribuídos entre os 12 meses, aquela quantidade mínima de pessoas no grupo força, em todo caso, que algum mês tenha 5 ou mais nascimentos. Para encontrar esse número mínimo consideramos o pior caso possível: tentamos distribuir as pessoas entre os meses de forma a evitar que qualquer mês alcance 5 pessoas. Se encontrarmos quantas pessoas dá para colocar sem atingir 5 em nenhum mês, então basta adicionar uma pessoa a esse número máximo para obrigar que algum mês tenha 5.

Passo 3

Qual é o máximo de pessoas que podemos ter sem que exista algum mês com 5 pessoas? Se quisermos evitar ter 5 em um mesmo mês, em cada mês podemos ter no máximo 4 pessoas. Como há 12 meses, o máximo total sem atingir 5 em nenhum mês é
4 \cdot 12.
Calculemos:
4 \cdot 12 = 48.

Passo 4

Portanto, é possível ter 48 pessoas distribuídas de modo que nenhum mês tenha 5 pessoas (por exemplo, exatamente 4 pessoas em cada mês). Isso mostra que 48 não é suficiente para garantir que exista um mês com 5 pessoas.

Passo 5

Se adicionarmos mais uma pessoa a esse cenário de pior caso, teremos 48+1 pessoas. Essa pessoa terá que pertencer a algum dos 12 meses, e adicionando-a a esse mês (que já tinha no máximo 4) fará esse mês passar a ter 5 pessoas. Logo, com 48+1 pessoas é impossível evitar que algum mês atinja 5. Em fórmula geral, para garantir pelo menos k objetos em alguma das n caixas precisamos de pelo menos
(k-1)\cdot n + 1.
Aqui k=5 e n=12, então
(5-1)\cdot 12 + 1 = 4\cdot 12 + 1 = 48 + 1 = 49.

Passo 6

Concluímos que o menor número de pessoas que garante que exista um mês com pelo menos 5 nascimentos é 49. Repetindo de forma intuitiva: com 48 pessoas podemos evitar 5 em qualquer mês (colocando 4 em cada mês); com 49 pessoas isso já não é possível — algum mês terá pelo menos 5.

Resposta

49

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