(
pontos) De quantos modos é possível formar uma roda de ciranda com 7 meninas e 12 meninos sem que haja duas meninas em posições adjacentes?
Passo 1
O enunciado pergunta: de quantos modos é possível formar uma roda de ciranda com
meninas e
meninos de forma que não haja duas meninas em posições adjacentes. Informações importantes que o enunciado dá (ou que assumimos como padrão para “roda de ciranda”):
- Há
meninas distintas e meninos distintos. - Os indivíduos são distintos entre si (cada menina e cada menino é identificável).
- A disposição é circular: rotações da mesma disposição são consideradas iguais (isto é, não distinguiamos arranjos que só diferem por uma rotação).
- Restrição: nenhuma das
meninas pode ficar ao lado de outra menina (ou seja, não pode haver duas meninas em posições adjacentes).
Passo 2
Conceito usado: número de permutações circulares de
objetos distintos.
Se temos pessoas distintas sentadas em um círculo e consideramos rotações equivalentes, o número de disposições distintas é
Se temos
Explicação curta e intuitiva: podemos “fixar” uma pessoa como referência (isso elimina a liberdade de rotações) e ordenar as outras
pessoas em sequência, resultando em
arranjos. Exemplo rápido: para
pessoas distintas em círculo há
disposições distintas.
Passo 3
Estratégia para a restrição “sem duas meninas adjacentes” — método dos espaços (gaps):
- Primeiro arranjamos os
meninos ao redor da roda (como são muitos meninos, consideramos sua ordem primeiro). - Depois disso, entre meninos consecutivos existem “vagas” onde podemos inserir meninas. Como a configuração é circular, o número de vagas criadas por
meninos é exatamente (uma vaga entre cada par consecutivo de meninos, fechando o círculo). - Para garantir que nenhuma menina fique adjacente a outra, colocamos no máximo uma menina por vaga; portanto precisamos escolher
vagas distintas dentre as disponíveis e colocar uma menina em cada vaga escolhida.
Passo 4
Contagem das maneiras de arranjar os
meninos em círculo: pela fórmula de permutação circular,
Aqui cada arranjo distinto de meninos (considerando rotações equivalentes) cria a mesma estrutura de
vagas entre meninos.
Passo 5
Contagem de como escolher quais vagas serão ocupadas pelas
meninas: há
vagas e queremos escolher
. O número de escolhas é o coeficiente binomial
Breve explicação do coeficiente binomial:
conta de quantas maneiras podemos escolher
elementos dentre
sem ordem; sua fórmula em termos de fatoriais é a dada acima.
Passo 6
Depois de escolher as
vagas distintas, precisamos ordenar as
meninas nessas vagas. Como as meninas são distintas, há
maneiras de permutar as
meninas nas vagas escolhidas.
Passo 7
Aplicando o princípio multiplicativo (contar escolhas independentes multiplicando as opções de cada etapa), o número total de arranjos válidos é
Podemos simplificar essa expressão usando
, o que dá