( \mathbf{1 , 0} pontos) De quantos modos é possível formar uma roda de ciranda com 7 meninas e 12 meninos sem que haja duas meninas em posições adjacentes?

Passo 1

O enunciado pergunta: de quantos modos é possível formar uma roda de ciranda com \,7 meninas e \,12 meninos de forma que não haja duas meninas em posições adjacentes. Informações importantes que o enunciado dá (ou que assumimos como padrão para “roda de ciranda”):
  • \,7 meninas distintas e \,12 meninos distintos.
  • Os indivíduos são distintos entre si (cada menina e cada menino é identificável).
  • A disposição é circular: rotações da mesma disposição são consideradas iguais (isto é, não distinguiamos arranjos que só diferem por uma rotação).
  • Restrição: nenhuma das \,7 meninas pode ficar ao lado de outra menina (ou seja, não pode haver duas meninas em posições adjacentes).

Passo 2

Conceito usado: número de permutações circulares de n objetos distintos.
Se temos n pessoas distintas sentadas em um círculo e consideramos rotações equivalentes, o número de disposições distintas é
(n-1)!
Explicação curta e intuitiva: podemos “fixar” uma pessoa como referência (isso elimina a liberdade de rotações) e ordenar as outras n-1 pessoas em sequência, resultando em (n-1)! arranjos. Exemplo rápido: para 3 pessoas distintas em círculo há (3-1)!=2 disposições distintas.

Passo 3

Estratégia para a restrição “sem duas meninas adjacentes” — método dos espaços (gaps):
  • Primeiro arranjamos os \,12 meninos ao redor da roda (como são muitos meninos, consideramos sua ordem primeiro).
  • Depois disso, entre meninos consecutivos existem “vagas” onde podemos inserir meninas. Como a configuração é circular, o número de vagas criadas por 12 meninos é exatamente \,12 (uma vaga entre cada par consecutivo de meninos, fechando o círculo).
  • Para garantir que nenhuma menina fique adjacente a outra, colocamos no máximo uma menina por vaga; portanto precisamos escolher \,7 vagas distintas dentre as \,12 disponíveis e colocar uma menina em cada vaga escolhida.

Passo 4

Contagem das maneiras de arranjar os \,12 meninos em círculo: pela fórmula de permutação circular,
\text{maneiras de arranjar os meninos} = (12-1)! = 11!.
Aqui cada arranjo distinto de meninos (considerando rotações equivalentes) cria a mesma estrutura de \,12 vagas entre meninos.

Passo 5

Contagem de como escolher quais vagas serão ocupadas pelas \,7 meninas: há \,12 vagas e queremos escolher \,7. O número de escolhas é o coeficiente binomial
\binom{12}{7}=\frac{12!}{7!\,5!}.
Breve explicação do coeficiente binomial: \binom{n}{k} conta de quantas maneiras podemos escolher k elementos dentre n sem ordem; sua fórmula em termos de fatoriais é a dada acima.

Passo 6

Depois de escolher as \,7 vagas distintas, precisamos ordenar as \,7 meninas nessas vagas. Como as meninas são distintas, há
7!
maneiras de permutar as \,7 meninas nas vagas escolhidas.

Passo 7

Aplicando o princípio multiplicativo (contar escolhas independentes multiplicando as opções de cada etapa), o número total de arranjos válidos é
11! \times \binom{12}{7} \times 7!.
Podemos simplificar essa expressão usando \binom{12}{7}=\dfrac{12!}{7!\,5!}, o que dá
11! \times \frac{12!}{7!\,5!}\times 7! \;=\; \frac{11!\,12!}{5!}.

Resposta

\dfrac{11!\,12!}{5!}=159335092224000

Exercícios relacionados