( \mathbf{2 , 5} pontos) Um resistor com R_{1}=45,0 \Omega está ligado a uma bateria com resistência interna desprezível e a energia elétrica é dissipada por R_{1} a uma taxa de 25,0 \mathrm{~W}. Se um segundo resistor com R_{2}=20,0 \Omega está ligado em série com R_{1}, qual é a taxa global em que a energia elétrica é dissipada pelos dois resistores?

Passo 1

O enunciado dá um resistor R_{1} ligado a uma bateria ideal (resistência interna desprezível) e informa que a potência dissipada em R_{1} é 25,0\\ \mathrm{W}. Depois adiciona em série um segundo resistor R_{2} e pede a potência total dissipada pelos dois resistores juntos. Dados fornecidos:
R_{1}=45{,}0\\ \Omega,\qquad P_{1}=25{,}0\\ \mathrm{W},\qquad R_{2}=20{,}0\\ \Omega.
O que devemos encontrar é a taxa global de dissipação de energia (potência total) quando R_{2} está em série com R_{1}.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas sem pressa):
P=VI
é a definição de potência elétrica: potência P (em watts) é a tensão V (em volts) vezes a corrente I (em ampères). Usando a lei de Ohm
V=IR
podemos eliminar V ou I e obter formas alternativas úteis:
P=I^{2}R
e
P=\frac{V^{2}}{R}.
Aqui R é a resistência (em ohms). Essas fórmulas são equivalentes; escolhemos a que facilita cada passo. No circuito em série a corrente é a mesma em todos os resistores e, sendo a bateria ideal, a tensão fornecida V não muda ao conectar R_{2}.

Passo 3

Primeiro vamos descobrir a tensão da bateria usando a situação inicial (apenas R_{1} conectado). Usamos a fórmula
P_{1}=\frac{V^{2}}{R_{1}}.
Isolando V temos
V=\sqrt{P_{1}R_{1}}.
Substituindo os valores numéricos:
P_{1}R_{1}=25{,}0\cdot 45{,}0=1125.
Portanto
V=\sqrt{1125}=\sqrt{225\cdot 5}=15\sqrt{5}\approx 33{,}541\\ \mathrm{V}.
Expliquei a fatoração para mostrar como calcular a raiz sem calculadora exata: \sqrt{1125}=\sqrt{225}\sqrt{5}=15\sqrt{5}, e usei \sqrt{5}\approx 2{,}23607.

Passo 4

Com R_{2} em série, a resistência total é a soma:
R_{\text{tot}}=R_{1}+R_{2}=45{,}0+20{,}0=65{,}0\\ \Omega.

Passo 5

A potência total dissipada pelos dois resistores em série é dada por
P_{\text{tot}}=\frac{V^{2}}{R_{\text{tot}}}.
Mas já sabemos que V^{2}=P_{1}R_{1}, então podemos escrever uma fórmula direta em termos dos dados iniciais:
P_{\text{tot}}=\frac{P_{1}R_{1}}{R_{1}+R_{2}}.
Essa expressão é útil porque evita calcular V explicitamente (mas fizemos isso antes para entender). A interpretação física: aumentando a resistência total, a corrente cai e, conseqüentemente, a potência total também diminui.

Passo 6

Agora substituímos os números na expressão direta:
P_{\text{tot}}=\frac{25{,}0\cdot 45{,}0}{65{,}0}=\frac{1125}{65}\approx 17{,}307692\ldots\\ \mathrm{W}.
Arredondando para três algarismos significativos (compatível com os dados), obtemos
P_{\text{tot}}\approx 17{,}3\\ \mathrm{W}.

Passo 7

Checagem rápida (opcional, mas didática): calculando a corrente no caso em série usando I'=V/R_{\text{tot}},
I'=\frac{\sqrt{1125}}{65}\approx\frac{33{,}541}{65}\approx 0{,}515\\ \mathrm{A}.
As potências em cada resistor seriam P_{1}'=I'^{2}R_{1}\approx(0{,}515)^{2}\cdot 45\approx 11{,}98\\ \mathrm{W} e P_{2}=I'^{2}R_{2}\approx(0{,}515)^{2}\cdot 20\approx 5{,}33\\ \mathrm{W}. A soma dá 11{,}98+5{,}33\approx 17{,}31\\ \mathrm{W}, consistente com 17{,}3\\ \mathrm{W} calculado antes.

Resposta

17{,}3\\ \mathrm{W}

Exercícios relacionados