A posição de uma partícula é dada por
, com
em segundos. Qual é (a) a frequência; (b) o período e (c) a amplitude do movimento da partícula? (d) Qual o primeiro instante, depois de
, em que a partícula está na posição de equilíbrio? Em que sentido a partícula se desloca neste instante? (e) Qual a velocidade máxima da partícula? (f) Qual a sua aceleração máxima? Resp.: a)
, para esquerda; e)
27) O período do movimento de uma partícula oscilante é de
. No instante
a partícula está em repouso em
10 cm. (a) Fazer o gráfico de
em função do tempo
. (b) Achar a distância coberta no primeiro, no segundo, no terceiro e no quarto segundo depois de
. Resp.: b)
27) O período do movimento de uma partícula oscilante é de
Passo 1
Enunciados e dados fornecidos (vou separar as duas questões que aparecem no enunciado).
Questão 1: A posição da partícula é dada por , com
em segundos. Perguntas:
(a) Qual é a frequência?
(b) Qual é o período?
(c) Qual é a amplitude do movimento?
(d) Qual o primeiro instante, depois de , em que a partícula está na posição de equilíbrio? Em que sentido a partícula se desloca neste instante?
(e) Qual a velocidade máxima da partícula?
(f) Qual a sua aceleração máxima?
Questão 1: A posição da partícula é dada por
(a) Qual é a frequência?
(b) Qual é o período?
(c) Qual é a amplitude do movimento?
(d) Qual o primeiro instante, depois de
(e) Qual a velocidade máxima da partícula?
(f) Qual a sua aceleração máxima?
Dados explícitos para a Questão 1: posição
.
Questão 27 (chamada aqui de Questão 2): O período do movimento de uma partícula oscilante é de
. No instante
a partícula está em repouso em
. Perguntas:
(a) Fazer o gráfico de em função de
.
(b) Achar a distância coberta no primeiro, no segundo, no terceiro e no quarto segundo depois de .
(a) Fazer o gráfico de
(b) Achar a distância coberta no primeiro, no segundo, no terceiro e no quarto segundo depois de
Dados explícitos para a Questão 2: período
, amplitude inicial
, e
,
.
A partir daqui eu vou explicar tudo passo a passo e resolver cada item, mostrando as fórmulas e o raciocínio completo.
Passo 2
Conceitos e fórmulas essenciais do movimento harmónico simples (MHS) que vamos usar — aula rápida e prática.
- Forma geral (quando a origem é o centro e podemos usar cosseno):
. Aqui: -
é a amplitude (valor máximo de ). -
é a velocidade angular em rad/s. -
é a fase inicial (ângulo em radianos que desloca a função no tempo).
-
- Relação entre
, frequência e período : Explicação: conta quantos radianos por segundo a fase avança; radian corresponde a uma volta completa, por isso essas relações. - Velocidade e aceleração (derivadas de
):
Explicação: derivamos a função cosseno normalmente; o módulo máximo da velocidade é
(quando
=1) e o módulo máximo da aceleração é
(quando
=1). Esses são valores máximos de velocidade e aceleração na oscilação.
Com isso em mente, aplicamos às questões.
Passo 3
Aplicando as fórmulas à Questão 1 — identificar parâmetros:
Da expressão podemos ler diretamente:
Da expressão
- amplitude
(porque é o coeficiente multiplicando o cosseno). - velocidade angular
(o que multiplica dentro do cosseno).
Agora calculamos frequência
e período
usando as relações do Passo 2.
Passo 4
Cálculo da frequência e do período (Questão 1 itens (a) e (b)):
Usando com
:
Usando
Explicação: a conta simplifica
e resta
. Frequência
significa 3 oscilações completas por segundo.
Período
:
Explicação: o período é o tempo de uma oscilação completa; com
oscilações por segundo, cada uma dura
de segundo.
Passo 5
Amplitude (Questão 1 item (c)):
Como já identifiquei, . Explicação: amplitude é o coeficiente do cosseno; é o deslocamento máximo em relação ao equilíbrio.
Como já identifiquei,
Passo 6
Primeiro instante em que
depois de
(Questão 1 item (d)) — posição de equilíbrio é
.
Resolvemos . Isso ocorre quando
. As soluções gerais para
são
, com
inteiro. Portanto:
Resolvemos
O menor
corresponde a
, então
Observação:
porque
e
. Então o primeiro instante é
.
Agora: em que sentido se desloca neste instante? Precisamos da velocidade em
. Usamos
. Substituindo
,
:
Para
,
, então
. Logo
O sinal negativo indica velocidade no sentido negativo do eixo
(ou seja, para a esquerda, se adotarmos positivo para a direita). Conclusão: no instante pedido a partícula atravessa o equilíbrio indo para a esquerda.
Passo 7
Velocidade máxima (Questão 1 item (e)):
Como visto no Passo 2, o módulo máximo da velocidade é . Substituindo:
Como visto no Passo 2, o módulo máximo da velocidade é
Valor numérico aproximado:
Explicação: o máximo de
ocorre quando
, isto é, na passagem pelo equilíbrio.
Passo 8
Aceleração máxima (Questão 1 item (f)):
O módulo máximo da aceleração é . Calculando:
O módulo máximo da aceleração é
Valor numérico aproximado (usando
):
Explicação: a aceleração máxima ocorre nos extremos da oscilação (onde
e
), pois
.
Passo 9
Resolvendo a Questão 2 — achar a função
e preparar o gráfico (item (a)). Dados:
,
,
.
Primeiro cálculo de :
Primeiro cálculo de
Queremos achar a fase
. A forma geral é
. Em
:
Como
, isso dá
, logo
(ou múltiplos de
, tomamos
). Verificação pela velocidade:
também é satisfeita com
. Portanto:
Instrução para o gráfico (como fazer na prova): desenhe uma curva cosseno com amplitude
, período
. Pontos-chave para marcar: máximos em
com
; zero em
e
(porque
); mínimo em
com
. A curva parte em
com velocidade zero e desce em direção ao equilíbrio.
Passo 10
Cálculo das posições em
e das distâncias percorridas (Questão 2 item (b)). Primeiro avalio
:
-
: -
: -
: -
: -
:
Agora as distâncias percorridas em cada intervalo de 1 segundo (todas são trajetórias monotônicas dentro desses intervalos, então a distância é o valor absoluto da diferença de posições):
- No 1.º segundo (de
a ): distância - No 2.º segundo (de
a ): distância - No 3.º segundo (de
a ): distância - No 4.º segundo (de
a ): distância
Se, como no “Resp.” do enunciado, se preferir dar as distâncias acumuladas desde
até cada segundo, somamos progressivamente:
- após 1 s:
(mesmo que acima); - após 2 s (acumulado):
; - após 3 s (acumulado):
; - após 4 s (acumulado):
.
Conclusão: os valores numéricos batem com os fornecidos no enunciado quando interpretamos como totais acumulados (ou fornecemos também as distâncias por segundo, se for necessário).
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d) ; desloca-se para a esquerda (velocidade negativa)
(e)
(f)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Questão 27 (Questão 2):
(a) . Gráfico: cosseno de amplitude
, período
, máximo em
com
, zeros em
e
, mínimo em
com
.
(b) Distâncias acumuladas desde : após 1 s:
; após 2 s:
; após 3 s:
; após 4 s:
.
(a)
(b) Distâncias acumuladas desde