A posição de uma partícula é dada por \boldsymbol{x}(\boldsymbol{t})=(\mathbf{7 c m}) \boldsymbol{\operatorname { c o s }}(\mathbf{6} \boldsymbol{\pi} . \boldsymbol{t}), com \boldsymbol{t} em segundos. Qual é (a) a frequência; (b) o período e (c) a amplitude do movimento da partícula? (d) Qual o primeiro instante, depois de \boldsymbol{t}=\boldsymbol{0}, em que a partícula está na posição de equilíbrio? Em que sentido a partícula se desloca neste instante? (e) Qual a velocidade máxima da partícula? (f) Qual a sua aceleração máxima? Resp.: a) \mathbf{f}=\mathbf{3 , 0 ~ H z} ; \mathbf{b}) \mathbf{T}=\mathbf{0 , 3 3 ~ s} ; \mathbf{c}) \mathbf{7 , 0 ~ c m} ; \mathbf{d}) \mathbf{t}=\mathbf{T} / \mathbf{4}, para esquerda; e) \left.\mathbf{v}_{\mathbf{m}}=\mathbf{0 , 4 2} \boldsymbol{\pi} \mathbf{~ c m} / \mathbf{s} ; \mathbf{f}\right) \mathbf{a}_{\mathbf{m}}=\mathbf{2 5 2} \boldsymbol{\pi} \mathbf{c m} \boldsymbol{/} \mathbf{s}^{\mathbf{2}}
27) O período do movimento de uma partícula oscilante é de \boldsymbol{8 , 0 ~ s}. No instante \boldsymbol{t}=\boldsymbol{0} a partícula está em repouso em \boldsymbol{x}=\boldsymbol{A}= 10 cm. (a) Fazer o gráfico de \boldsymbol{x} em função do tempo \boldsymbol{t}. (b) Achar a distância coberta no primeiro, no segundo, no terceiro e no quarto segundo depois de \boldsymbol{t}=\mathbf{0}. Resp.: b) \boldsymbol{\Delta} \mathbf{x}_{1}=\mathbf{2 , 9 3 ~ c m} ; \boldsymbol{\Delta} \mathbf{x}_{2}=\mathbf{1 0 ~ c m} ; \boldsymbol{\Delta} \mathbf{x}_{3}=\mathbf{1 7 , 0 7 ~ c m} ; \boldsymbol{\Delta} \mathbf{x}_{4}=\mathbf{2 0 ~ c m}

Passo 1

Enunciados e dados fornecidos (vou separar as duas questões que aparecem no enunciado).
Questão 1: A posição da partícula é dada por \boldsymbol{x}(\boldsymbol{t})=(\mathbf{7\\ cm})\boldsymbol{\cos}(\mathbf{6\pi}\cdot \boldsymbol{t}), com \boldsymbol{t} em segundos. Perguntas:
(a) Qual é a frequência?
(b) Qual é o período?
(c) Qual é a amplitude do movimento?
(d) Qual o primeiro instante, depois de \boldsymbol{t}=\boldsymbol{0}, em que a partícula está na posição de equilíbrio? Em que sentido a partícula se desloca neste instante?
(e) Qual a velocidade máxima da partícula?
(f) Qual a sua aceleração máxima?
Dados explícitos para a Questão 1: posição \;x(t)=7\\ \text{cm}\cdot\cos(6\pi t).
Questão 27 (chamada aqui de Questão 2): O período do movimento de uma partícula oscilante é de \boldsymbol{8,0\\ s}. No instante \boldsymbol{t}=\boldsymbol{0} a partícula está em repouso em \boldsymbol{x}=\boldsymbol{A}=10\\ \text{cm}. Perguntas:
(a) Fazer o gráfico de x em função de t.
(b) Achar a distância coberta no primeiro, no segundo, no terceiro e no quarto segundo depois de \boldsymbol{t}=0.
Dados explícitos para a Questão 2: período \;T=8{,}0\\ \text{s}, amplitude inicial A=10\\ \text{cm}, e v(0)=0, x(0)=A.
A partir daqui eu vou explicar tudo passo a passo e resolver cada item, mostrando as fórmulas e o raciocínio completo.

Passo 2

Conceitos e fórmulas essenciais do movimento harmónico simples (MHS) que vamos usar — aula rápida e prática.
  • Forma geral (quando a origem é o centro e podemos usar cosseno): \;x(t)=A\cos(\omega t+\varphi). Aqui:
    • A é a amplitude (valor máximo de |x|).
    • \omega é a velocidade angular em rad/s.
    • \varphi é a fase inicial (ângulo em radianos que desloca a função no tempo).
  • Relação entre \omega, frequência f e período T: \omega=2\pi f,\qquad f=\frac{\omega}{2\pi},\qquad T=\frac{1}{f}=\frac{2\pi}{\omega}.Explicação: \omega conta quantos radianos por segundo a fase avança; 2\pi radian corresponde a uma volta completa, por isso essas relações.
  • Velocidade e aceleração (derivadas de x(t)): v(t)=\frac{dx}{dt}=-A\omega\sin(\omega t+\varphi),
a(t)=\frac{dv}{dt}=-A\omega^{2}\cos(\omega t+\varphi).
Explicação: derivamos a função cosseno normalmente; o módulo máximo da velocidade é A\omega (quando |\sin|=1) e o módulo máximo da aceleração é A\omega^{2} (quando |\cos|=1). Esses são valores máximos de velocidade e aceleração na oscilação.
Com isso em mente, aplicamos às questões.

Passo 3

Aplicando as fórmulas à Questão 1 — identificar parâmetros:
Da expressão \;x(t)=7\\ \text{cm}\cdot\cos(6\pi t) podemos ler diretamente:
  • amplitude A=7\\ \text{cm} (porque é o coeficiente multiplicando o cosseno).
  • velocidade angular \omega=6\pi\\ \text{rad/s} (o que multiplica t dentro do cosseno).
Agora calculamos frequência f e período T usando as relações do Passo 2.

Passo 4

Cálculo da frequência e do período (Questão 1 itens (a) e (b)):
Usando \;f=\dfrac{\omega}{2\pi} com \omega=6\pi:
f=\frac{6\pi}{2\pi}=3\\ \text{Hz}.
Explicação: a conta simplifica \pi e resta 6/2=3. Frequência 3\\ \text{Hz} significa 3 oscilações completas por segundo.
Período \;T=\dfrac{1}{f}:
T=\frac{1}{3}\\ \text{s}=0{,}333\ldots\\ \text{s}\approx 0{,}33\\ \text{s}.
Explicação: o período é o tempo de uma oscilação completa; com 3 oscilações por segundo, cada uma dura 1/3 de segundo.

Passo 5

Amplitude (Questão 1 item (c)):
Como já identifiquei, \;A=7\\ \text{cm}. Explicação: amplitude é o coeficiente do cosseno; é o deslocamento máximo em relação ao equilíbrio.

Passo 6

Primeiro instante em que x=0 depois de t=0 (Questão 1 item (d)) — posição de equilíbrio é x=0.
Resolvemos \;x(t)=7\cos(6\pi t)=0. Isso ocorre quando \cos(6\pi t)=0. As soluções gerais para \cos\theta=0 são \theta=\dfrac{\pi}{2}+k\pi, com k inteiro. Portanto:
6\pi t=\frac{\pi}{2}+k\pi.
O menor t>0 corresponde a k=0, então
t=\frac{\pi/2}{6\pi}=\frac{1}{12}\\ \text{s}=0{,}08333\ldots\\ \text{s}.
Observação: \dfrac{1}{12}\\ \text{s}=\dfrac{T}{4} porque T=\dfrac{1}{3} e \dfrac{T}{4}=\dfrac{1}{12}. Então o primeiro instante é \;t=\dfrac{T}{4}.
Agora: em que sentido se desloca neste instante? Precisamos da velocidade em t=1/12. Usamos v(t)=-A\omega\sin(\omega t). Substituindo A=7\\ \text{cm}, \omega=6\pi:
v(t)=-7\cdot 6\pi \sin(6\pi t)=-42\pi\sin(6\pi t)\\ \text{cm/s}.
Para t=\dfrac{1}{12}, 6\pi t=6\pi\cdot\dfrac{1}{12}=\dfrac{\pi}{2}, então \sin(\pi/2)=1. Logo
v\!\left(\tfrac{1}{12}\right)=-42\pi\\ \text{cm/s}.
O sinal negativo indica velocidade no sentido negativo do eixo x (ou seja, para a esquerda, se adotarmos positivo para a direita). Conclusão: no instante pedido a partícula atravessa o equilíbrio indo para a esquerda.

Passo 7

Velocidade máxima (Questão 1 item (e)):
Como visto no Passo 2, o módulo máximo da velocidade é \;v_{\max}=A\omega. Substituindo:
v_{\max}=7\cdot 6\pi=42\pi\\ \text{cm/s}.
Valor numérico aproximado:
42\pi\\ \text{cm/s}\approx 42\cdot 3{,}1416\approx 131{,}95\\ \text{cm/s}.
Explicação: o máximo de |v(t)| ocorre quando |\sin(\omega t+\varphi)|=1, isto é, na passagem pelo equilíbrio.

Passo 8

Aceleração máxima (Questão 1 item (f)):
O módulo máximo da aceleração é \;a_{\max}=A\omega^{2}. Calculando:
a_{\max}=7\cdot(6\pi)^{2}=7\cdot 36\pi^{2}=252\pi^{2}\\ \text{cm/s}^{2}.
Valor numérico aproximado (usando \pi^{2}\approx 9{,}8696):
252\pi^{2}\\ \text{cm/s}^{2}\approx 252\cdot 9{,}8696\approx 2487{,}9\\ \text{cm/s}^{2}.
Explicação: a aceleração máxima ocorre nos extremos da oscilação (onde x=\pm A e |\cos|=1), pois a(t)=-A\omega^{2}\cos(\omega t+\varphi).

Passo 9

Resolvendo a Questão 2 — achar a função x(t) e preparar o gráfico (item (a)). Dados: T=8{,}0\\ \text{s}, x(0)=A=10\\ \text{cm}, v(0)=0.
Primeiro cálculo de \omega:
\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{8}=\frac{\pi}{4}\\ \text{rad/s}.
Queremos achar a fase \varphi. A forma geral é x(t)=A\cos(\omega t+\varphi). Em t=0:
x(0)=A\cos\varphi =10\\ \text{cm}.
Como A=10\\ \text{cm}, isso dá \cos\varphi=1, logo \varphi=0 (ou múltiplos de 2\pi, tomamos \varphi=0). Verificação pela velocidade: v(0)=-A\omega\sin\varphi=0 também é satisfeita com \varphi=0. Portanto:
x(t)=10\cos\!\left(\frac{\pi}{4}t\right)\\ \text{cm}.
Instrução para o gráfico (como fazer na prova): desenhe uma curva cosseno com amplitude 10\\ \text{cm}, período 8\\ \text{s}. Pontos-chave para marcar: máximos em t=0,8,\ldots com x=+10\\ \text{cm}; zero em t=T/4=2\\ \text{s} e t=6\\ \text{s} (porque T/4=2\\ \text{s}); mínimo em t=4\\ \text{s} com x=-10\\ \text{cm}. A curva parte em +10 com velocidade zero e desce em direção ao equilíbrio.

Passo 10

Cálculo das posições em t=0,1,2,3,4\\ \text{s} e das distâncias percorridas (Questão 2 item (b)). Primeiro avalio x(t)=10\cos\!\left(\dfrac{\pi}{4}t\right):
  • t=0: \cos(0)=1\Rightarrow x(0)=10\\ \text{cm}.
  • t=1: \cos\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow x(1)=10\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=10\cdot 0{,}707106\ldots\approx 7{,}0711\\ \text{cm}.
  • t=2: \cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0\Rightarrow x(2)=0\\ \text{cm}.
  • t=3: \cos\!\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow x(3)\approx -7{,}0711\\ \text{cm}.
  • t=4: \cos(\pi)=-1\Rightarrow x(4)=-10\\ \text{cm}.
Agora as distâncias percorridas em cada intervalo de 1 segundo (todas são trajetórias monotônicas dentro desses intervalos, então a distância é o valor absoluto da diferença de posições):
  • No 1.º segundo (de t=0 a t=1): distância =|x(1)-x(0)|=|7{,}0711-10|=2{,}9289\\ \text{cm}\approx 2{,}93\\ \text{cm}.
  • No 2.º segundo (de t=1 a t=2): distância =|x(2)-x(1)|=|0-7{,}0711|=7{,}0711\\ \text{cm}\approx 7{,}07\\ \text{cm}.
  • No 3.º segundo (de t=2 a t=3): distância =|x(3)-x(2)|=|{-}7{,}0711-0|=7{,}0711\\ \text{cm}\approx 7{,}07\\ \text{cm}.
  • No 4.º segundo (de t=3 a t=4): distância =|x(4)-x(3)|=|{-}10 - ({-}7{,}0711)|=2{,}9289\\ \text{cm}\approx 2{,}93\\ \text{cm}.
Se, como no “Resp.” do enunciado, se preferir dar as distâncias acumuladas desde t=0 até cada segundo, somamos progressivamente:
  • após 1 s: 2{,}93\\ \text{cm} (mesmo que acima);
  • após 2 s (acumulado): 2{,}93+7{,}07=10{,}00\\ \text{cm};
  • após 3 s (acumulado): 10{,}00+7{,}07=17{,}07\\ \text{cm};
  • após 4 s (acumulado): 17{,}07+2{,}93=20{,}00\\ \text{cm}.
Conclusão: os valores numéricos batem com os fornecidos no enunciado quando interpretamos como totais acumulados (ou fornecemos também as distâncias por segundo, se for necessário).

Resposta

(a) f=3\\ \text{Hz}
(b) T=\dfrac{1}{3}\\ \text{s}\approx 0{,}33\\ \text{s}
(c) A=7\\ \text{cm}
(d) t=\dfrac{1}{12}\\ \text{s}=\dfrac{T}{4}; desloca-se para a esquerda (velocidade negativa)
(e) v_{\max}=42\pi\\ \text{cm/s}\approx 131{,}95\\ \text{cm/s}
(f) a_{\max}=252\pi^{2}\\ \text{cm/s}^{2}\approx 2487{,}9\\ \text{cm/s}^{2}
Questão 27 (Questão 2):
(a) x(t)=10\cos\!\left(\dfrac{\pi}{4}t\right)\\ \text{cm}. Gráfico: cosseno de amplitude 10\\ \text{cm}, período 8\\ \text{s}, máximo em t=0 com x=+10\\ \text{cm}, zeros em t=2\\ \text{s} e t=6\\ \text{s}, mínimo em t=4\\ \text{s} com x=-10\\ \text{cm}.
(b) Distâncias acumuladas desde t=0: após 1 s: 2{,}93\\ \text{cm}; após 2 s: 10{,}00\\ \text{cm}; após 3 s: 17{,}07\\ \text{cm}; após 4 s: 20{,}00\\ \text{cm}.

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