Um bloco de massa 1,0 \mathrm{~kg} desliza sobre um plano horizontal, vindo a entrar em contato com uma mola de constante elástica k=50 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. Ao entrar em contato com a mola, a velocidade

F-128 - Física Geral I - 2^{0} Semestre 2012

LISTA DO CAPÍTULO 8

do bloco era de 1,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e a compressão máxima da mola foi 0,1 \mathrm{~m}. Suponha que o coeficiente de atrito estático entre o bloco e o plano é 0,4 .
a) Qual é o valor do coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a mesa?
b) A mola, tendo atingido o estado de compressão máxima, consegue empurrar o bloco?
c) Em caso afirmativo, onde o bloco se imobilizará?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede 3 coisas. Dados do problema:
m=1{,}0\\ \mathrm{kg},\qquad k=50\\ \mathrm{N/m},\qquad v_0=1{,}0\\ \mathrm{m/s},
x_{\max}=0{,}1\\ \mathrm{m},\qquad \mu_s=0{,}4,\qquad g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}.
Perguntas:
a) Determinar o coeficiente de atrito cinético \mu_k.
b) Verificar se, depois de comprimida ao máximo, a mola consegue empurrar o bloco (isto é, se a força da mola supera a força de atrito estático máxima).
c) Caso a mola consiga empurrar, determinar onde o bloco finalmente se imobiliza (ou seja, a posição final de repouso).

Passo 2

Explicação do método (energia com atrito): quando o bloco entra em contato com a mola ele tem energia cinética inicial que é convertida em energia potencial elástica da mola e em trabalho realizado contra o atrito. A equação de conservação de energia (incluindo trabalho dissipado pelo atrito) entre o instante em que a mola começa a ser comprimida ( x=0) e a compressão máxima ( x=x_{\max}) é:
\frac{1}{2}m v_0^2 = \frac{1}{2}k x_{\max}^2 + W_{\text{atrito}},
onde W_{\text{atrito}} é o trabalho realizado pela força de atrito durante a compressão. Como o atrito cinético é praticamente constante e igual a f_k=\mu_k m g e o deslocamento é x_{\max}, temos
W_{\text{atrito}} = \mu_k m g x_{\max}.
Vou explicar cada termo:
  • \tfrac{1}{2}m v_0^2 é a energia cinética inicial do bloco (energia associada à velocidade).
  • \tfrac{1}{2}k x_{\max}^2 é a energia armazenada na mola na compressão máxima (energia potencial elástica).
  • \mu_k m g x_{\max} é a energia perdida por atrito enquanto a mola é comprimida; o atrito faz trabalho negativo e retira energia mecânica do sistema.

Passo 3

Usamos a equação de energia para isolar \mu_k. Substituindo:
\frac{1}{2}m v_0^2 = \frac{1}{2}k x_{\max}^2 + \mu_k m g x_{\max}.
Isolando \mu_k:
\mu_k = \frac{\tfrac{1}{2}m v_0^2 - \tfrac{1}{2}k x_{\max}^2}{m g x_{\max}}.
Explico a operação: subtraímos a energia guardada na mola do total disponível e dividimos pelo produto m g x_{\max} que é exatamente a expressão que multiplica \mu_k no trabalho de atrito.

Passo 4

Agora calculamos numericamente cada termo (faça as contas como em prova, sem pular etapas):
Energia cinética inicial:
\frac{1}{2}m v_0^2 = \frac{1}{2}\cdot 1{,}0\cdot(1{,}0)^2 = 0{,}5\\ \mathrm{J}.
Energia armazenada na mola na compressão máxima:
\frac{1}{2}k x_{\max}^2 = \frac{1}{2}\cdot 50\cdot(0{,}1)^2 = \frac{1}{2}\cdot 50\cdot 0{,}01 = 0{,}25\\ \mathrm{J}.
Energia disponível para vencer o atrito:
0{,}5 - 0{,}25 = 0{,}25\\ \mathrm{J}.
Agora use a expressão para \mu_k:
\mu_k = \frac{0{,}25}{m g x_{\max}} = \frac{0{,}25}{1{,}0\cdot 9{,}8\cdot 0{,}1} = \frac{0{,}25}{0{,}98}.

Passo 5

Divisão final (mostrando a conta):
\mu_k = \frac{0{,}25}{0{,}98}\approx 0{,}2551\ldots
Arredondando razoavelmente para duas casas decimais (como em prova) obtemos \mu_k\approx 0{,}26. Se preferir mais dígitos: \mu_k\approx 0{,}255.

Passo 6

Agora a pergunta (b): para que a mola consiga “empurrar” o bloco (isto é, iniciar o movimento de volta), a força máxima que a mola exerce na compressão máxima deve ser maior que a força de atrito estático máxima. A força da mola na compressão máxima é
F_{\text{mola}}=k x_{\max}=50\cdot 0{,}1=5{,}0\\ \mathrm{N}.
A força de atrito estático máxima vale
f_{s,\max}=\mu_s m g = 0{,}4\cdot 1{,}0\cdot 9{,}8 = 3{,}92\\ \mathrm{N}.
Comparando: 5{,}0\\ \mathrm{N} > 3{,}92\\ \mathrm{N}. Portanto a mola tende a aplicar uma força maior que o atrito estático máximo e assim consegue iniciar o empurrão (o bloco será posto em movimento pela mola).

Passo 7

Agora a pergunta (c): onde o bloco se imobilizará ao final? Vamos seguir a energia durante a fase de descompressão (da posição x=x_{\max} até x=0 e além, se ocorrer). Na compressão máxima a mola tem energia
E_{\text{mola}}=\tfrac{1}{2}k x_{\max}^2=0{,}25\\ \mathrm{J}.
Ao descomprimir de x_{\max} até x=0 essa energia é convertida em trabalho que vence o atrito (o atrito dissipa energia igual a \mu_k m g x_{\max}). Calculamos esse trabalho com o \mu_k encontrado:
W_{\text{atrito, volta}}=\mu_k m g x_{\max}\approx 0{,}2551\cdot 1{,}0\cdot 9{,}8\cdot 0{,}1 \approx 0{,}25\\ \mathrm{J}.
Ou seja, toda a energia armazenada na mola ( 0{,}25\\ \mathrm{J}) será consumida vencendo o atrito até x=0. Isso significa que, quando a mola voltar à posição não comprimida ( x=0), a energia cinética do bloco será zero: o bloco chega exatamente em x=0 parado. Portanto não há energia sobrando para levá-lo além de x=0 (não passa para o lado oposto). Como na posição x=0 a força da mola é nula, não há força que vença o atrito estático e faça o bloco continuar; assim o bloco fica imobilizado exatamente na posição em que a mola não está comprimida.

Passo 8

Resumo físico e interpretação intuitiva: o bloco entrou com energia suficiente para comprimir a mola e também perdeu energia por atrito durante a compressão. Na descompressão a mola devolve a energia, mas essa energia é totalmente gasta vencendo o atrito até que a mola esteja relaxada; portanto o bloco para exatamente quando a mola retorna ao comprimento natural. A mola de fato consegue iniciar o movimento de volta porque sua força máxima ultrapassa o atrito estático, mas a energia é dissipada e o bloco não “afasta” da mola para o outro lado.

Resposta

a) \mu_k \approx 0{,}255 (aproximadamente 0{,}26).
b) Sim.
c) O bloco se imobilizará em x=0, ou seja, na posição em que a mola não está comprimida.

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