(\mathbf{3 , 0} pontos) Resolva duas das três integrais definidas abaixo:
\int_{0}^{\pi} \frac{1}{1+\tan ^{2} x} d x

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e quais integrais vou resolver (peguei a segunda integral a partir da imagem enviada).
  • O enunciado escrito fornece a integral \int_{0}^{\pi} \frac{1}{1+\tan^{2}x}\,dx.
  • A imagem mostra um semicírculo descrito por y=\sqrt{25-x^{2}}. A partir dessa imagem (que forneceu a função do semicírculo e os extremos visíveis) vou considerar como segunda integral a clássica \int_{-5}^{5} \sqrt{25-x^{2}}\,dx.
O enunciado pedia para resolver duas integrais; aqui vou resolver essas duas: a integral trigonométrica sobre [0,\pi] e a integral da raiz representando a área do semicírculo (peguei os dados do semicírculo na imagem).

Passo 2

Entendendo e simplificando a integral \displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{1}{1+\tan^{2}x}\,dx.
  • Lembrete importante (identidade trigonométrica): para todo x onde as funções estão definidas vale
    1+\tan^{2}x=\operatorname{sec}^{2}x,
    porque \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x} e \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x}. Essa identidade é básica e muito usada.
  • Usando essa identidade, o integrando fica
    \frac{1}{1+\tan^{2}x}=\frac{1}{\operatorname{sec}^{2}x}=\cos^{2}x.
    Ou seja, a integral se reduz a
    \int_{0}^{\pi} \cos^{2}x\,dx.
Agora precisamos integrar \cos^{2}x. Uma ferramenta fácil é a identidade de duplicação:
\cos^{2}x=\frac{1+\cos(2x)}{2}.
Essa identidade vem da fórmula para o cosseno da soma/duplicação; ela transforma uma função quadrática em uma soma de termos fáceis de integrar.

Passo 3

Integração efetiva da primeira integral:
  • Substituindo a identidade,
    \int_{0}^{\pi} \cos^{2}x\,dx=\int_{0}^{\pi} \frac{1+\cos(2x)}{2}\,dx =\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi} 1\,dx+\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\cos(2x)\,dx.
  • Calcule os dois termos separadamente:
    • Para o primeiro termo, \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi} 1\,dx=\frac{1}{2}\bigl[x\bigr]_{0}^{\pi}=\frac{1}{2}\cdot\pi=\frac{\pi}{2}.
    • Para o segundo termo, tome uma primitiva de \cos(2x): uma primitiva é \dfrac{\sin(2x)}{2}. Então \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\cos(2x)\,dx=\frac{1}{2}\left[\frac{\sin(2x)}{2}\right]_{0}^{\pi} =\frac{1}{4}\bigl(\sin(2\pi)-\sin(0)\bigr)=\frac{1}{4}(0-0)=0.
  • Somando os termos obtemos
    \int_{0}^{\pi} \frac{1}{1+\tan^{2}x}\,dx=\frac{\pi}{2}.

Passo 4

Agora a integral do semicírculo \displaystyle \int_{-5}^{5} \sqrt{25-x^{2}}\,dx. Interpretação: essa integral representa a área sob a curva y=\sqrt{25-x^{2}} entre x=-5 e x=5. Geometricamente essa curva é a metade superior do círculo de raio 5 centrado na origem; portanto a área é simplesmente a área de um semicírculo de raio 5.
  • Área de um círculo de raio r é \pi r^{2}. Para o semicírculo a área é metade disso: \text{área do semicírculo}=\frac{1}{2}\pi r^{2}=\frac{1}{2}\pi\cdot 5^{2}=\frac{25\pi}{2}.áí
Posso também mostrar com uma técnica analítica (substituição trigonométrica) para treinar o método:
  • Use a substituição \,x=5\sin\theta. Então \,dx=5\cos\theta\,d\theta e
    \sqrt{25-x^{2}}=\sqrt{25-25\sin^{2}\theta}=5\sqrt{1-\sin^{2}\theta}=5\cos\theta,
    tomando \theta em [-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}] para cobrir x\in[-5,5].
  • A integral fica
    \int_{-5}^{5}\sqrt{25-x^{2}}\,dx=\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \bigl(5\cos\theta\bigr)\bigl(5\cos\theta\,d\theta\bigr) =25\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^{2}\theta\,d\theta.
  • Usando \cos^{2}\theta=\dfrac{1+\cos(2\theta)}{2} obtemos
    25\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^{2}\theta\,d\theta =25\left[\frac{1}{2}\theta+\frac{1}{4}\sin(2\theta)\right]_{-\pi/2}^{\pi/2}.
    Avaliando, o termo com \sin(2\theta) cancela (é zero em ambos os extremos) e sobra
    25\cdot\frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{2}-\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right)=25\cdot\frac{1}{2}\cdot\pi=\frac{25\pi}{2},
    que coincide com a resposta geométrica.

Resposta

\dfrac{\pi}{2}
\dfrac{25\pi}{2}

Exercícios relacionados