(\mathbf{3 , 0} pontos) Resolva duas das três integrais definidas abaixo:
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e quais integrais vou resolver (peguei a segunda integral a partir da imagem enviada).
- O enunciado escrito fornece a integral
- A imagem mostra um semicírculo descrito por
. A partir dessa imagem (que forneceu a função do semicírculo e os extremos visíveis) vou considerar como segunda integral a clássica
O enunciado pedia para resolver duas integrais; aqui vou resolver essas duas: a integral trigonométrica sobre
e a integral da raiz representando a área do semicírculo (peguei os dados do semicírculo na imagem).
Passo 2
Entendendo e simplificando a integral
.
-
Lembrete importante (identidade trigonométrica): para todo
onde as funções estão definidas vale porquee . Essa identidade é básica e muito usada. -
Usando essa identidade, o integrando ficaOu seja, a integral se reduz a
Agora precisamos integrar
. Uma ferramenta fácil é a identidade de duplicação:
Essa identidade vem da fórmula para o cosseno da soma/duplicação; ela transforma uma função quadrática em uma soma de termos fáceis de integrar.
Passo 3
Integração efetiva da primeira integral:
-
Substituindo a identidade,
-
Calcule os dois termos separadamente:
- Para o primeiro termo,
- Para o segundo termo, tome uma primitiva de
: uma primitiva é . Então
- Para o primeiro termo,
-
Somando os termos obtemos
Passo 4
Agora a integral do semicírculo
. Interpretação: essa integral representa a área sob a curva
entre
e
. Geometricamente essa curva é a metade superior do círculo de raio
centrado na origem; portanto a área é simplesmente a área de um semicírculo de raio
.
- Área de um círculo de raio
é . Para o semicírculo a área é metade disso:
Posso também mostrar com uma técnica analítica (substituição trigonométrica) para treinar o método:
-
Use a substituição
. Então e tomandoem para cobrir . -
A integral fica
-
Usando
obtemos Avaliando, o termo comcancela (é zero em ambos os extremos) e sobra que coincide com a resposta geométrica.