(\mathbf{3 , 0} pontos) Resolva duas das três integrais definidas abaixo:
\int_{-5}^{5}\left(x-\sqrt{25-x^{2}}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral definida
\int_{-5}^{5}\left(x-\sqrt{25-x^{2}}\right)\,dx.
Informações dadas:
  • A integranda é a função x-\sqrt{25-x^{2}}.
  • O intervalo de integração é [-5,5].
  • Da imagem fornecida: a curva y=\sqrt{25-x^{2}} é o semicírculo superior de raio 5 centrado na origem (peguei essa informação da imagem).
O que devemos encontrar: o valor numérico da integral definida acima.

Passo 2

Vamos usar a linearidade da integral para separar a expressão em duas integrais mais simples. Regra (lembrando): para funções integráveis f e g e constantes a,b,
\int (a f + b g)= a\int f + b\int g.
Aplicando isso aqui:
\int_{-5}^{5}\left(x-\sqrt{25-x^{2}}\right)\,dx = \int_{-5}^{5} x\,dx - \int_{-5}^{5}\sqrt{25-x^{2}}\,dx.
Agora calculamos cada integral separadamente.

Passo 3

Cálculo de \displaystyle \int_{-5}^{5} x\,dx.
Conceito importante (que facilita muito na prova): função ímpar e função par.
  • Uma função f é ímpar se f(-x)=-f(x). Para funções ímpares, o integral simétrico sobre [-a,a] vale zero:
\text{se }f\text{ é ímpar, então }\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 0.éíã
  • A função x é ímpar porque (-x) = -x. Portanto,
\int_{-5}^{5} x\,dx = 0.
Raciocínio rápido: as áreas positivas e negativas em [-5,0] e [0,5] se cancelam.

Passo 4

Cálculo de \displaystyle \int_{-5}^{5}\sqrt{25-x^{2}}\,dx — interpretação geométrica (método rápido e robusto).
A curva y=\sqrt{25-x^{2}} é a semicircunferência superior de raio 5 (peguei isso da imagem). O integral \int_{-5}^{5}\sqrt{25-x^{2}}\,dx representa a área sob essa semicircunferência entre x=-5 e x=5, ou seja, a área do semicírculo de raio 5.
Fórmula da área do círculo: \text{Área do círculo} = \pi r^{2}Áí. Então a área do semicírculo é metade disso:
\int_{-5}^{5}\sqrt{25-x^{2}}\,dx = \frac{1}{2}\pi r^{2} = \frac{1}{2}\pi\cdot 5^{2} = \frac{25\pi}{2}.

Passo 5

(Método alternativo - trigonométrico, para quem quiser ver o cálculo passo a passo sem usar geometria.)
Substituição trigonométrica: tomar x=5\sin\theta. Então dx=5\cos\theta\,d\theta. Quando x=-5 temos \theta=-\tfrac{\pi}{2}; quando x=5 temos \theta=\tfrac{\pi}{2}. Além disso,
\sqrt{25-x^{2}}=\sqrt{25-25\sin^{2}\theta}=5\cos\theta
(para \theta\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}], \cos\theta\ge0). Assim
\int_{-5}^{5}\sqrt{25-x^{2}}\,dx = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} (5\cos\theta)\cdot(5\cos\theta)\,d\theta = 25\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^{2}\theta\,d\theta.
Usando a identidade \cos^{2}\theta=\tfrac{1+\cos(2\theta)}{2},
25\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^{2}\theta\,d\theta =25\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{1+\cos(2\theta)}{2}\,d\theta = \frac{25}{2}\left[\theta+\tfrac{1}{2}\sin(2\theta)\right]_{-\pi/2}^{\pi/2}.
Como \sin(2\theta) é nula nos limites simétricos, fica
\frac{25}{2}\left(\frac{\pi}{2}-\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right)=\frac{25}{2}\cdot\pi=\frac{25\pi}{2},
mesmo resultado da geometria.

Passo 6

Combinar os resultados do Passo 3 e do Passo 4:
\int_{-5}^{5}\left(x-\sqrt{25-x^{2}}\right)\,dx = \underbrace{\int_{-5}^{5} x\,dx}_{0} - \underbrace{\int_{-5}^{5}\sqrt{25-x^{2}}\,dx}_{\tfrac{25\pi}{2}} = 0 - \frac{25\pi}{2} = -\frac{25\pi}{2}.

Resposta

-\dfrac{25\pi}{2}

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