(\mathbf{3 , 0} pontos) Resolva duas das três integrais definidas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede o valor da integral definida
Informações dadas:
- A integranda é a função
. - O intervalo de integração é
. - Da imagem fornecida: a curva
é o semicírculo superior de raio centrado na origem (peguei essa informação da imagem).
O que devemos encontrar: o valor numérico da integral definida acima.
Passo 2
Vamos usar a linearidade da integral para separar a expressão em duas integrais mais simples. Regra (lembrando): para funções integráveis
e
e constantes
,
Aplicando isso aqui:
Agora calculamos cada integral separadamente.
Passo 3
Cálculo de
.
Conceito importante (que facilita muito na prova): função ímpar e função par.
- Uma função
é ímpar se . Para funções ímpares, o integral simétrico sobre vale zero:
- A função
é ímpar porque . Portanto,
Raciocínio rápido: as áreas positivas e negativas em
e
se cancelam.
Passo 4
Cálculo de
— interpretação geométrica (método rápido e robusto).
A curva
é a semicircunferência superior de raio
(peguei isso da imagem). O integral
representa a área sob essa semicircunferência entre
e
, ou seja, a área do semicírculo de raio
.
Fórmula da área do círculo:
. Então a área do semicírculo é metade disso:
Passo 5
(Método alternativo - trigonométrico, para quem quiser ver o cálculo passo a passo sem usar geometria.)
Substituição trigonométrica: tomar
. Então
. Quando
temos
; quando
temos
. Além disso,
(para
,
). Assim
Usando a identidade
,
Como
é nula nos limites simétricos, fica
mesmo resultado da geometria.
Passo 6
Combinar os resultados do Passo 3 e do Passo 4: