(\mathbf{3 , 0} pontos) Resolva duas das três integrais definidas abaixo:
\int_{-2}^{3}|x-1| d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int_{-2}^{3} |x-1|\,dx.
Informações dadas (apenas o que o enunciado traz):
  • O integrando é a função valor absoluto x\mapsto |x-1|.
  • Os limites de integração são x=-2 (inferior) e x=3 (superior).
    A tarefa é obter o valor numérico dessa integral definida.

Passo 2

Entendendo o valor absoluto — conceito que vamos usar passo a passo.
A definição útil do valor absoluto é, para uma expressão qualquer u\): \[|u| = \begin{cases} u, & \text{se } u \ge 0,\\[4pt] -\,u, & \text{se } u < 0. \end{cases}
Aqui temos u=x-1\]. Então, para integrar \(|x-1| devemos identificar onde x-1 é não-negativo ou negativo e escrever |x-1| como uma função sem valor absoluto em cada trecho.]

Passo 3

Achar o ponto de quebra: resolver x-1=0.
x-1=0 \quad\Rightarrow\quad x=1.
Logo o eixo real ficará dividido em dois intervalos relevantes para nossa integral entre os limites:
  • intervalo [-2,1), onde x-1<0 (por exemplo, em x=0 temos 0-1=-1<0),
  • intervalo [1,3], onde x-1\ge 0 (por exemplo, em x=2 temos 2-1=1\ge0).
Pelo item anterior, podemos reescrever |x-1| em cada intervalo:
|x-1| = \begin{cases} 1-x, & x<1,\\[4pt] x-1, & x\ge 1. \end{cases}]

Passo 4

Dividir a integral no ponto x=1 e substituir a expressão apropriada em cada trecho:
\int_{-2}^{3} |x-1|\,dx = \int_{-2}^{1} (1-x)\,dx \;+\; \int_{1}^{3} (x-1)\,dx.
Agora vamos calcular cada integral separadamente. Lembrete rápido de antiderivadas usadas:
  • Uma antiderivada de 1-x é x-\dfrac{x^{2}}{2}, pois \dfrac{d}{dx}\!\left(x-\dfrac{x^{2}}{2}\right)=1-x.
  • Uma antiderivada de x-1 é \dfrac{x^{2}}{2}-x, pois \dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{x^{2}}{2}-x\right)=x-1.

Passo 5

Calcular a primeira integral \int_{-2}^{1} (1-x)\,dx:
\int_{-2}^{1} (1-x)\,dx = \left[x-\dfrac{x^{2}}{2}\right]_{-2}^{1}.
Avaliar nos extremos:
\text{em } x=1:\quad 1-\dfrac{1^{2}}{2}=1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2},
\text{em } x=-2:\quad (-2)-\dfrac{(-2)^{2}}{2} = -2 - \dfrac{4}{2} = -2 -2 = -4.
Subtraindo:
\int_{-2}^{1} (1-x)\,dx = \dfrac{1}{2} - (-4) = \dfrac{1}{2} + 4 = \dfrac{9}{2}.
Calcular a segunda integral \int_{1}^{3} (x-1)\,dx:
\int_{1}^{3} (x-1)\,dx = \left[\dfrac{x^{2}}{2}-x\right]_{1}^{3}.
Avaliar nos extremos:
\text{em } x=3:\quad \dfrac{3^{2}}{2}-3 = \dfrac{9}{2}-3 = \dfrac{9-6}{2}=\dfrac{3}{2},
\text{em } x=1:\quad \dfrac{1^{2}}{2}-1 = \dfrac{1}{2}-1 = -\dfrac{1}{2}.
Subtraindo:
\int_{1}^{3} (x-1)\,dx = \dfrac{3}{2} - \left(-\dfrac{1}{2}\right)= \dfrac{3}{2} + \dfrac{1}{2} = 2.

Passo 6

Somar as duas partes para obter a integral total:
\int_{-2}^{3} |x-1|\,dx = \dfrac{9}{2} + 2 = \dfrac{9}{2} + \dfrac{4}{2} = \dfrac{13}{2}.
Interpretação rápida (intuição): o gráfico de y=|x-1| é um “V” com vértice em x=1; a integral definida é a área sob esse “V” entre -2 e 3. O cálculo acima corresponde a somar as áreas das duas figuras triangulares resultantes, e dá \dfrac{13}{2}.

Resposta

\dfrac{13}{2}

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