(\mathbf{3 , 0} pontos) Resolva duas das três integrais definidas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral
Informações dadas (apenas o que o enunciado traz):
- O integrando é a função valor absoluto
. - Os limites de integração são
(inferior) e (superior).
A tarefa é obter o valor numérico dessa integral definida.
Passo 2
Entendendo o valor absoluto — conceito que vamos usar passo a passo.
A definição útil do valor absoluto é, para uma expressão qualquer
Aqui temos
devemos identificar onde
é não-negativo ou negativo e escrever
como uma função sem valor absoluto em cada trecho.]
Passo 3
Achar o ponto de quebra: resolver
.
Logo o eixo real ficará dividido em dois intervalos relevantes para nossa integral entre os limites:
- intervalo
, onde (por exemplo, em temos ), - intervalo
, onde (por exemplo, em temos ).
Pelo item anterior, podemos reescrever
em cada intervalo:
Passo 4
Dividir a integral no ponto
e substituir a expressão apropriada em cada trecho:
Agora vamos calcular cada integral separadamente. Lembrete rápido de antiderivadas usadas:
- Uma antiderivada de
é , pois . - Uma antiderivada de
é , pois .
Passo 5
Calcular a primeira integral
:
Avaliar nos extremos:
Subtraindo:
Calcular a segunda integral
:
Avaliar nos extremos:
Subtraindo:
Passo 6
Somar as duas partes para obter a integral total:
Interpretação rápida (intuição): o gráfico de
é um “V” com vértice em
; a integral definida é a área sob esse “V” entre
e
. O cálculo acima corresponde a somar as áreas das duas figuras triangulares resultantes, e dá
.