( \mathbf{2 , 5} pontos) Determine a função f(x) que satisfaz as seguintes condições:
f^{\prime \prime}(x)=\frac{2 x+1}{x^{2}}, \quad f^{\prime}(1)=0, \quad f(1)=3 .
Solução: Primeiro, simplificamos f^{\prime \prime}(x) :
f^{\prime \prime}(x)=\frac{2 x}{x^{2}}+\frac{1}{x^{2}}=\frac{2}{x}+x^{-2}
Agora, vamos integrar f^{\prime \prime}(x) para encontrar f^{\prime}(x) :
f^{\prime}(x)=\int \underbrace{\left(\frac{2}{x}+x^{-2}\right)}_{f^{\prime \prime}(x)} d x=2 \ln |x|-\frac{1}{x}+C_{1}
Usando a condição f^{\prime}(1)=0 :
0=2 \ln (1)-\frac{1}{1}+C_{1} \quad \Rightarrow \quad 0=0-1+C_{1} \quad \Rightarrow \quad C_{1}=1
Continuando, vamos integrar f^{\prime}(x)=2 \ln |x|-\frac{1}{x}+1 para encontrar f(x) :
f(x)=\int \underbrace{\left(2 \ln |x|-x^{-1}+1\right)}_{f^{\prime}(x)} d x
Usando integração por partes para \int \ln |x| d x=x \ln |x|-x, temos que:
f(x)=2(x \ln |x|-x)-\ln |x|+x+C_{2}=(2 x-1) \ln |x|-x+C_{2}
Usando a condição f(1)=3 :
3=(2(1)-1) \ln (1)-1+C_{2} \Rightarrow 3=-1+C_{2} \Rightarrow C_{2}=4
Portanto, f(x)=(2 x-1) \ln |x|-x+4.
Observação:
\int \ln (x) d x=\int \underbrace{\ln (x)}_{u} \cdot \underbrace{1 d x}_{d v}=x \ln (x)-\int x \cdot \frac{1}{x} d x=x \ln (x)-x+C.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A segunda derivada: f''(x)=\frac{2x+1}{x^{2}}.
  • Condições iniciais: f'(1)=0,\qquad f(1)=3.
O que se pede: determinar explicitamente a função f(x) que satisfaz essas condições.

Passo 2

Primeiro vou simplificar a expressão de f''(x) para facilitar a integração. Faço a divisão termo a termo:
f''(x)=\frac{2x+1}{x^{2}}=\frac{2x}{x^{2}}+\frac{1}{x^{2}}=\frac{2}{x}+x^{-2}.

Passo 3

Agora integro f''(x) em relação a x para obter f'(x). Lembre que a integral é a operação inversa da derivada e que se integra termo a termo:
  • A integral de \dfrac{2}{x} é 2\ln|x| porque \dfrac{d}{dx}\ln|x|=\dfrac{1}{x}.
  • A integral de x^{-2} é -x^{-1} porque \dfrac{d}{dx}(-x^{-1})=x^{-2}.
Portanto,
f'(x)=\int\left(\frac{2}{x}+x^{-2}\right)\,dx=2\ln|x|-x^{-1}+C_{1}.

Passo 4

Use a condição \,f'(1)=0 para encontrar C_{1}. Substituindo x=1 em f'(x):
0=f'(1)=2\ln|1|-1+C_{1}.
Como \ln|1|=0, obtemos
0=0-1+C_{1}\quad\Rightarrow\quad C_{1}=1.

Passo 5

Com C_{1}=1 temos a expressão final de f'(x):
f'(x)=2\ln|x|-x^{-1}+1.

Passo 6

Agora integro f'(x) para obter f(x). Vou integrar termo a termo:
f(x)=\int\left(2\ln|x|-x^{-1}+1\right)\,dx.
Preciso lembrar como integrar \ln|x|. Uso integração por partes: escolho u=\ln|x| e dv=dx. Então du=\dfrac{1}{x}\,dx e v=x. A fórmula de integração por partes é \int u\,dv = uv-\int v\,du. Assim,
\int \ln|x|\,dx = x\ln|x| - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = x\ln|x| - x + C.

Passo 7

Volto para a integral de f'(x):
  • \displaystyle \int 2\ln|x|\,dx = 2\big(x\ln|x|-x\big)=2x\ln|x|-2x.
  • \displaystyle \int -x^{-1}\,dx = -\ln|x|.
  • \displaystyle \int 1\,dx = x.
Somando e acrescentando uma constante C_{2},
f(x)=2x\ln|x|-2x-\ln|x|+x+C_{2}.
Agrupando termos semelhantes (os termos com \ln|x| e os termos em x):
f(x)=(2x-1)\ln|x| -x + C_{2}.

Passo 8

Use a condição \,f(1)=3 para determinar C_{2}. Substituindo x=1:
3=f(1)=(2\cdot1-1)\ln|1|-1+C_{2}.
Como \ln|1|=0, obtemos
3=-1+C_{2}\quad\Rightarrow\quad C_{2}=4.

Passo 9

Substituindo C_{2}=4 na expressão de f(x) obtemos a função procurada:
f(x)=(2x-1)\ln|x|-x+4.

Resposta

f(x)=(2x-1)\ln|x|-x+4

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