Use a condição \,f'(1)=0 para encontrar C_{1}. Substituindo x=1 em f'(x):
0=f'(1)=2\ln|1|-1+C_{1}.
Como \ln|1|=0, obtemos
0=0-1+C_{1}\quad\Rightarrow\quad C_{1}=1.
Passo 5
Com C_{1}=1 temos a expressão final de f'(x):
f'(x)=2\ln|x|-x^{-1}+1.
Passo 6
Agora integro f'(x) para obter f(x). Vou integrar termo a termo:
f(x)=\int\left(2\ln|x|-x^{-1}+1\right)\,dx.
Preciso lembrar como integrar \ln|x|. Uso integração por partes: escolho u=\ln|x| e dv=dx. Então du=\dfrac{1}{x}\,dx e v=x. A fórmula de integração por partes é \int u\,dv = uv-\int v\,du. Assim,
\int \ln|x|\,dx = x\ln|x| - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = x\ln|x| - x + C.