(
pontos) Resolva as seguintes integrais indefinidas:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A variável de integração é
. - A função integrada é
, isto é, . - Quer-se uma primitiva (integral indefinida), portanto a resposta deve conter a constante de integração
.
Passo 2
Primeira ideia prática: eliminar a composição linear
usando uma substituição simples. Defina
Calcule a diferencial:
Substituindo na integral original obtemos (a transformação é direta, trocando
por
):
Passo 3
Agora vamos lidar com
. Uma identidade útil é escrever potências ímpares de seno como
E lembrar a identidade pitagórica
Portanto
Essa reescrita é útil porque aparece um fator
que é a derivada (até sinal) de
, permitindo uma substituição simples.
Passo 4
Use essa identidade dentro da integral em
:
Separe em duas integrais:
Passo 5
Agora faça a substituição natural para essas integrais: seja
Então
Aplique isso em cada termo:
- Para o primeiro termo,
- Para o segundo termo,
Somando os dois resultados (e lembrando da constante de integração
) obtemos, em função de
,
Voltando à variável
(pois
) temos
Passo 6
Agora substitua de volta
para escrever a primitiva em termos de
. O resultado final será a expressão acima com
trocado por
.