( \mathbf{4 , 5} pontos) Resolva as seguintes integrais indefinidas:
\int \operatorname{sen}^{3}(2-2 x) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \operatorname{sen}^{3}(2-2x)\,dx.
Informações dadas:
  • A variável de integração é x.
  • A função integrada é \operatorname{sen}^{3}(2-2x), isto é, \big(\sin(2-2x)\big)^3.
  • Quer-se uma primitiva (integral indefinida), portanto a resposta deve conter a constante de integração C.

Passo 2

Primeira ideia prática: eliminar a composição linear 2-2x usando uma substituição simples. Defina
u=2-2x.
Calcule a diferencial:
du = -2\,dx \quad\Rightarrow\quad dx = -\tfrac{1}{2}\,du.
Substituindo na integral original obtemos (a transformação é direta, trocando x por u):
\int \operatorname{sen}^{3}(2-2x)\,dx = -\tfrac{1}{2}\int \operatorname{sen}^{3}u\,du.

Passo 3

Agora vamos lidar com \operatorname{sen}^{3}u. Uma identidade útil é escrever potências ímpares de seno como
\operatorname{sen}^{3}u=\operatorname{sen}u\cdot \operatorname{sen}^{2}u.
E lembrar a identidade pitagórica
\operatorname{sen}^{2}u=1-\cos^{2}u.
Portanto
\operatorname{sen}^{3}u=\operatorname{sen}u\,(1-\cos^{2}u).
Essa reescrita é útil porque aparece um fator \operatorname{sen}u\,du que é a derivada (até sinal) de \cos u, permitindo uma substituição simples.

Passo 4

Use essa identidade dentro da integral em u:
-\tfrac{1}{2}\int \operatorname{sen}^{3}u\,du =-\tfrac{1}{2}\int \big(\operatorname{sen}u-\operatorname{sen}u\cos^{2}u\big)\,du.
Separe em duas integrais:
-\tfrac{1}{2}\int \operatorname{sen}u\,du \;+\; \tfrac{1}{2}\int \operatorname{sen}u\cos^{2}u\,du.

Passo 5

Agora faça a substituição natural para essas integrais: seja
v=\cos u.
Então
dv = -\operatorname{sen}u\,du \quad\Rightarrow\quad \operatorname{sen}u\,du = -dv.
Aplique isso em cada termo:
  1. Para o primeiro termo,
-\tfrac{1}{2}\int \operatorname{sen}u\,du = -\tfrac{1}{2}(-v) = \tfrac{1}{2}v.
  1. Para o segundo termo,
\tfrac{1}{2}\int \operatorname{sen}u\cos^{2}u\,du =\tfrac{1}{2}\int v^{2}(-dv) =-\tfrac{1}{2}\int v^{2}\,dv =-\tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{v^{3}}{3} =-\tfrac{v^{3}}{6}.
Somando os dois resultados (e lembrando da constante de integração C) obtemos, em função de v,
-\tfrac{1}{2}\int \operatorname{sen}^{3}u\,du = \tfrac{1}{2}v - \tfrac{v^{3}}{6} + C.
Voltando à variável u (pois v=\cos u) temos
\tfrac{1}{2}\cos u - \tfrac{1}{6}\cos^{3}u + C.

Passo 6

Agora substitua de volta u=2-2x para escrever a primitiva em termos de x. O resultado final será a expressão acima com u trocado por 2-2x.

Resposta

\frac{1}{2}\cos(2-2x)-\frac{1}{6}\cos^{3}(2-2x)+C

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