( 0,5 pontos) Resolva a integral indefinida:
\int \frac{5 x-7}{x^{2}-3 x+2} d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \frac{5x-7}{x^{2}-3x+2}\,dx.
Informações dadas:
  • O integrando é a função racional \dfrac{5x-7}{x^{2}-3x+2}.
  • O denominador pode ser fatorado (observe os coeficientes).
    O que é pedido:
  • Encontrar uma primitiva (antiderivada) da função, ou seja, calcular a integral indefinida acima e indicar a constante de integração C.

Passo 2

Primeiro passo prático: fatorar o denominador. Vamos fatorar
x^{2}-3x+2.
Procuramos dois números cujo produto é 2 e soma é -3. Esses números são -1 e -2. Logo
x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2).

Passo 3

Escolha do método: a função é uma fração com denominador que se decompõe em fatores lineares distintos (x-1) e (x-2). O método correto e simples é decompor em frações parciais na forma
\frac{5x-7}{(x-1)(x-2)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2},
onde A e B são constantes a determinar. Esse método funciona porque qualquer fração com denominador produto de fatores lineares distintos pode ser escrita como soma de termos \dfrac{\text{constante}}{x-\text{raiz}}.

Passo 4

Achar A e B. Multiplicando ambos os lados por (x-1)(x-2) obtemos a identidade polinomial
5x-7 = A(x-2)+B(x-1).
Podemos determinar A e B de forma rápida escolhendo valores convenientes de x.
Colocar x=1:
5\cdot 1 -7 = A(1-2)+B(0) \quad\Rightarrow\quad -2 = -A \quad\Rightarrow\quad A=2.
Colocar x=2:
5\cdot 2 -7 = A(0)+B(2-1) \quad\Rightarrow\quad 3 = B \quad\Rightarrow\quad B=3.
(Verificação opcional: usando A=2 e B=3, A+B=5 e -2A-B=-7, consistente com os coeficientes.)

Passo 5

Reescrever o integrando com A e B encontrados:
\frac{5x-7}{x^{2}-3x+2}=\frac{2}{x-1}+\frac{3}{x-2}.
Agora a integral separa em duas integrais simples:
\int \frac{5x-7}{x^{2}-3x+2}\,dx = \int \frac{2}{x-1}\,dx + \int \frac{3}{x-2}\,dx.

Passo 6

Integrar cada termo. Lembrete da fórmula básica: para constante k e a real,
\int \frac{k}{x-a}\,dx = k\ln|x-a| + C,
porque \dfrac{d}{dx}\ln|x-a|=\dfrac{1}{x-a}. Aplicando aqui:
\int \frac{2}{x-1}\,dx = 2\ln|x-1| + C_1, \qquad \int \frac{3}{x-2}\,dx = 3\ln|x-2| + C_2.

Passo 7

Somando as primitivase juntando as constantes de integração ( C=C_1+C_2) obtemos a primitiva geral:
2\ln|x-1|+3\ln|x-2|+C.
Opcionalmente, pode-se combinar os logaritmos em um só:
\ln\bigl(|x-1|^{2}|x-2|^{3}\bigr)+C,
mas ambas as formas estão corretas.

Resposta

2\ln|x-1|+3\ln|x-2|+C

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