( 0,5 pontos) Resolva a integral indefinida:
Passo 1
O enunciado pede a integral indefinida
Informações dadas:
- O integrando é a função racional
. - O denominador pode ser fatorado (observe os coeficientes).
O que é pedido: - Encontrar uma primitiva (antiderivada) da função, ou seja, calcular a integral indefinida acima e indicar a constante de integração
.
Passo 2
Primeiro passo prático: fatorar o denominador. Vamos fatorar
Procuramos dois números cujo produto é
e soma é
. Esses números são
e
. Logo
Passo 3
Escolha do método: a função é uma fração com denominador que se decompõe em fatores lineares distintos
e
. O método correto e simples é decompor em frações parciais na forma
onde
e
são constantes a determinar. Esse método funciona porque qualquer fração com denominador produto de fatores lineares distintos pode ser escrita como soma de termos
.
Passo 4
Achar
e
. Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade polinomial
Podemos determinar
e
de forma rápida escolhendo valores convenientes de
.
Colocar
:
Colocar
:
(Verificação opcional: usando
e
,
e
, consistente com os coeficientes.)
Passo 5
Reescrever o integrando com
e
encontrados:
Agora a integral separa em duas integrais simples:
Passo 6
Integrar cada termo. Lembrete da fórmula básica: para constante
e
real,
porque
. Aplicando aqui:
Passo 7
Somando as primitivase juntando as constantes de integração (
) obtemos a primitiva geral:
Opcionalmente, pode-se combinar os logaritmos em um só:
mas ambas as formas estão corretas.