( \mathbf{2} pontos) Resolva os seguintes itens.
a) ( 0.5 pontos) Verifique que a EDO \frac{d y}{d x}=\frac{2 x y}{x^{2}-y^{2}} não é exata.
b) ( \mathbf{0 . 5} pontos) Encontre um fator integrante para transformar a EDO do item a) numa EDO exata.
c) ( \mathbf{1 . 0} pontos) Resolva o problema de valor inicial
\left\{\begin{array}{l} \frac{d y}{d x}=\frac{2 x y}{x^{2}-y^{2}} \\\ y(1)=1 \end{array}\right.
Passo 1
Enunciado e o que é pedido:\n
a) Verificar que a EDO
\frac{dy}{dx}=\frac{2xy}{x^{2}-y^{2}}
não é exata.\n
b) Encontrar um fator integrante que transforme a EDO do item (a) numa EDO exata.\n
c) Resolver o problema de valor inicial
Como -2x\neq 2x em geral (exceto em x=0), concluímos que a equação NÃO é exata.
Passo 3
Procurar um fator integrante dependente só de y.\n
Teoria rápida (sem pular passos): se existe um fator integrante \mu(y) que depende apenas de y, então \mu M\,dx+\mu N\,dy deve ser exata. Isso implica
A solução geral implícita (curvas de nível de \Phi) é
-\frac{x^{2}}{y}-y=C.
Multiplicando por -y (e absorvendo o sinal na constante) obtemos a forma mais simples
x^{2}+y^{2}=K y,
onde K é constante arbitrária.
Passo 6
Aplicar a condição inicial y(1)=1 para determinar a constante e discutir a solução explícita.\n
Substituindo x=1,\\ y=1 em x^{2}+y^{2}=K y dá
1+1=K\cdot 1\quad\Rightarrow\quad K=2.
Portanto a solução implícita que satisfaz o PVI é
x^{2}+y^{2}=2y.
Podemos rearranjar como equação quadrática em y:
y^{2}-2y+x^{2}=0,
cuja solução explícita é
y=1\pm\sqrt{1-x^{2}}.
Observações úteis para a prova (não pule isso em sala de prova): a solução real existe para |x|\le 1. No ponto inicial (1,1) a derivada dada pela EDO é singular (o denominador x^{2}-y^{2} é zero), o que corresponde ao fato de a curva solução ter tangente vertical nesse ponto (derivada infinita na forma y' usual). As duas ramificações y=1+\sqrt{1-x^{2}} e y=1-\sqrt{1-x^{2}} se encontram em (1,1); portanto o PVI admitiu, nesta condição singular, as duas ramificações que passam pelo mesmo ponto (não há unicidade clássica naquela condição porque a hipótese do teorema de unicidade falha).
Resposta
a) A EDO não é exata, pois \dfrac{\partial M}{\partial y}=-2x\neq 2x=\dfrac{\partial N}{\partial x}.\n
b) Um fator integrante é \displaystyle \mu(y)=\frac{1}{y^{2}} (para y\neq 0).\n
c) Solução que satisfaz y(1)=1: \displaystyle x^{2}+y^{2}=2y, equivalently \displaystyle y=1\pm\sqrt{1-x^{2}} (domínio real |x|\le 1).