( \mathbf{2} pontos) Resolva os seguintes itens.
a) ( 0.5 pontos) Verifique que a EDO \frac{d y}{d x}=\frac{2 x y}{x^{2}-y^{2}} não é exata.
b) ( \mathbf{0 . 5} pontos) Encontre um fator integrante para transformar a EDO do item a) numa EDO exata.
c) ( \mathbf{1 . 0} pontos) Resolva o problema de valor inicial
\left\{\begin{array}{l} \frac{d y}{d x}=\frac{2 x y}{x^{2}-y^{2}} \\\ y(1)=1 \end{array}\right.

Passo 1

Enunciado e o que é pedido:\n
a) Verificar que a EDO
\frac{dy}{dx}=\frac{2xy}{x^{2}-y^{2}}
não é exata.\n
b) Encontrar um fator integrante que transforme a EDO do item (a) numa EDO exata.\n
c) Resolver o problema de valor inicial
\begin{cases} \displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{2xy}{x^{2}-y^{2}},\\[6pt] y(1)=1. \end{cases}\n
Informações relevantes dadas pelo enunciado:\n
  • A equação diferencial dada é uma equação ordinária de primeira ordem com a forma de cociente de polinômios em x,y.\n
  • Foi dado um ponto inicial (x,y)=(1,1) para fixar a constante de integração.\n
    (Nada mais será assumido; a resolução começa a partir daqui.)]

Passo 2

Transformar a EDO em forma diferencial e verificar exatidão.\n
Escrevemos a EDO na forma diferencial
M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0,
subtraindo ambos os lados:
-2xy\,dx+(x^{2}-y^{2})\,dy=0.
Logo
M(x,y)=-2xy,\qquad N(x,y)=x^{2}-y^{2}.
A condição de exatidão (num domínio onde M,N são C^{1}) é
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Calculemos as derivadas parciais:\n
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(-2xy)=-2x,\n
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}-y^{2})=2x.
Como -2x\neq 2x em geral (exceto em x=0), concluímos que a equação NÃO é exata.

Passo 3

Procurar um fator integrante dependente só de y.\n
Teoria rápida (sem pular passos): se existe um fator integrante \mu(y) que depende apenas de y, então \mu M\,dx+\mu N\,dy deve ser exata. Isso implica
\frac{\partial}{\partial y}(\mu M)=\frac{\partial}{\partial x}(\mu N).
Como \mu=\mu(y), temos \mu' M+\mu \frac{\partial M}{\partial y}=\mu \frac{\partial N}{\partial x}. Dividindo por \mu obtém-se
\frac{\mu'}{\mu}=\frac{\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}}{M}.
O lado direito deve depender apenas de y para que faça sentido. Vamos calcular esse quociente usando M,N do Passo 2:\n
\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}=2x-(-2x)=4x,\n
\frac{\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}}{M}=\frac{4x}{-2xy}=-\frac{2}{y},
que depende somente de y. Logo existe \mu(y) e
\frac{\mu'}{\mu}=-\frac{2}{y}.
Integramos em y:
\ln|\mu|=\int -\frac{2}{y}\,dy=-2\ln|y|+C,
portanto, escolhendo a constante multiplicativa unitária,
\mu(y)=e^{-2\ln|y|}=|y|^{-2}.
Para resolver a EDO tomamos \mu(y)=\dfrac{1}{y^{2}} (assumindo y\neq 0, domínio natural da transformação).

Passo 4

Multiplicar a equação diferencial por \mu(y)=1/y^{2} e verificar exatidão.\n
Multiplicando M,N por 1/y^{2} obtemos
\widetilde{M}(x,y)=\frac{M}{y^{2}}=-\frac{2x}{y},\qquad \widetilde{N}(x,y)=\frac{N}{y^{2}}=\frac{x^{2}}{y^{2}}-1.
Calculemos as parciais:
\frac{\partial \widetilde{M}}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(-\frac{2x}{y}\right)=-2x\cdot\left(-\frac{1}{y^{2}}\right)=\frac{2x}{y^{2}},\n
\frac{\partial \widetilde{N}}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{x^{2}}{y^{2}}-1\right)=\frac{2x}{y^{2}}.
As derivadas parciais coincidem, logo a equação multiplicada por 1/y^{2} é exata.

Passo 5

Resolver a equação exata encontrada.\n
Procuramos uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=\widetilde{M}=-\frac{2x}{y},\qquad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=\widetilde{N}=\frac{x^{2}}{y^{2}}-1.
Integramos \partial \Phi/\partial x em x (tratando y como constante):
\Phi(x,y)=\int -\frac{2x}{y}\,dx=-\frac{x^{2}}{y}+h(y),
onde h(y) é uma função a determinar. Diferenciando essa expressão em y:
\frac{\partial \Phi}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(-\frac{x^{2}}{y}+h(y)\right)=\frac{x^{2}}{y^{2}}+h'(y).
Igualando a \widetilde{N} temos
\frac{x^{2}}{y^{2}}+h'(y)=\frac{x^{2}}{y^{2}}-1\quad\Rightarrow\quad h'(y)=-1.
Integrando h'(y) obtemos h(y)=-y+C. Assim
\Phi(x,y)=-\frac{x^{2}}{y}-y + C.
A solução geral implícita (curvas de nível de \Phi) é
-\frac{x^{2}}{y}-y=C.
Multiplicando por -y (e absorvendo o sinal na constante) obtemos a forma mais simples
x^{2}+y^{2}=K y,
onde K é constante arbitrária.

Passo 6

Aplicar a condição inicial y(1)=1 para determinar a constante e discutir a solução explícita.\n
Substituindo x=1,\\ y=1 em x^{2}+y^{2}=K y
1+1=K\cdot 1\quad\Rightarrow\quad K=2.
Portanto a solução implícita que satisfaz o PVI é
x^{2}+y^{2}=2y.
Podemos rearranjar como equação quadrática em y:
y^{2}-2y+x^{2}=0,
cuja solução explícita é
y=1\pm\sqrt{1-x^{2}}.
Observações úteis para a prova (não pule isso em sala de prova): a solução real existe para |x|\le 1. No ponto inicial (1,1) a derivada dada pela EDO é singular (o denominador x^{2}-y^{2} é zero), o que corresponde ao fato de a curva solução ter tangente vertical nesse ponto (derivada infinita na forma y' usual). As duas ramificações y=1+\sqrt{1-x^{2}} e y=1-\sqrt{1-x^{2}} se encontram em (1,1); portanto o PVI admitiu, nesta condição singular, as duas ramificações que passam pelo mesmo ponto (não há unicidade clássica naquela condição porque a hipótese do teorema de unicidade falha).

Resposta

a) A EDO não é exata, pois \dfrac{\partial M}{\partial y}=-2x\neq 2x=\dfrac{\partial N}{\partial x}.\n
b) Um fator integrante é \displaystyle \mu(y)=\frac{1}{y^{2}} (para y\neq 0).\n
c) Solução que satisfaz y(1)=1: \displaystyle x^{2}+y^{2}=2y, equivalently \displaystyle y=1\pm\sqrt{1-x^{2}} (domínio real |x|\le 1).

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