Calcule as derivadas parciais de \tilde{f} (ou a matriz Jacobiana de \tilde{f}, se preferir), em cada caso.
f(x, y, z)=\ln \left(x^{2}+y^{2}+3 z^{2}\right), \quad \varphi(u, v)=(\cos (u) \operatorname{sen}(v), \operatorname{sen}(u) \operatorname{sen}(v), \cos (v))

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular as derivadas parciais de \tilde{f}, onde \tilde{f}=f\circ\varphi.
Informações dadas:
f(x,y,z)=\ln\big(x^{2}+y^{2}+3z^{2}\big),
\varphi(u,v)=\big(\cos(u)\operatorname{sen}(v),\;\operatorname{sen}(u)\operatorname{sen}(v),\;\cos(v)\big).
Queremos \dfrac{\partial \tilde{f}}{\partial u} e \dfrac{\partial \tilde{f}}{\partial v} (ou a matriz Jacobiana de \tilde{f}) avaliadas para variáveis (u,v).

Passo 2

Primeiro escrevo explicitamente a composição \tilde{f}(u,v)=f\big(\varphi(u,v)\big) substituindo as componentes de \varphi em f:
\tilde{f}(u,v)=\ln\!\big(\big(\cos(u)\operatorname{sen}(v)\big)^{2}+\big(\operatorname{sen}(u)\operatorname{sen}(v)\big)^{2}+3\big(\cos(v)\big)^{2}\big).

Passo 3

Agora simplifico a expressão dentro do \ln. Agrupando os dois primeiros termos:
\big(\cos(u)\operatorname{sen}(v)\big)^{2}+\big(\operatorname{sen}(u)\operatorname{sen}(v)\big)^{2} =\operatorname{sen}^{2}(v)\big(\cos^{2}(u)+\operatorname{sen}^{2}(u)\big).
Usando a identidade trigonométrica \cos^{2}(u)+\operatorname{sen}^{2}(u)=1, obtemos
\big(\cos(u)\operatorname{sen}(v)\big)^{2}+\big(\operatorname{sen}(u)\operatorname{sen}(v)\big)^{2}=\operatorname{sen}^{2}(v).
Portanto o argumento do \ln fica
\operatorname{sen}^{2}(v)+3\cos^{2}(v)=1+2\cos^{2}(v),
pois \operatorname{sen}^{2}(v)+\cos^{2}(v)=1. Assim
\tilde{f}(u,v)=\ln\!\big(1+2\cos^{2}(v)\big).
Observação importante: \tilde{f} depende apenas de v, não depende de u.

Passo 4

Dado que \tilde{f}(u,v) não depende de u, concluímos imediatamente que
\frac{\partial \tilde{f}}{\partial u}(u,v)=0.
Isso já resolve a primeira parcial. Vou agora calcular detalhadamente \dfrac{\partial \tilde{f}}{\partial v}.

Passo 5

Para derivar \tilde{f}(u,v)=\ln\!\big(1+2\cos^{2}(v)\big) em relação a v uso a regra da cadeia: se h(v)=\ln(g(v)) então h'(v)=\dfrac{g'(v)}{g(v)}. Aqui g(v)=1+2\cos^{2}(v). Calculo g'(v):
g'(v)=2\cdot\frac{d}{dv}\big(\cos^{2}(v)\big).
E \dfrac{d}{dv}\big(\cos^{2}(v)\big)=2\cos(v)\cdot(-\operatorname{sen}(v))=-2\cos(v)\operatorname{sen}(v). Então
g'(v)=2\cdot\big(-2\cos(v)\operatorname{sen}(v)\big)=-4\cos(v)\operatorname{sen}(v).
Aplicando a regra da cadeia:
\frac{\partial \tilde{f}}{\partial v}(u,v)=\frac{g'(v)}{g(v)}=\frac{-4\cos(v)\operatorname{sen}(v)}{1+2\cos^{2}(v)}.
Podemos escrever essa expressão usando a identidade \operatorname{sen}(2v)=2\operatorname{sen}(v)\cos(v). Observando que -4\cos(v)\operatorname{sen}(v)=-2\cdot(2\operatorname{sen}(v)\cos(v))=-2\operatorname{sen}(2v), obtemos a forma compacta
\frac{\partial \tilde{f}}{\partial v}(u,v)=\frac{-2\operatorname{sen}(2v)}{1+2\cos^{2}(v)}.

Passo 6

(Facultativo, mas didático) Verificação pela regra da cadeia na forma matricial: \nabla f(x,y,z)=\big(\dfrac{2x}{x^{2}+y^{2}+3z^{2}},\dfrac{2y}{x^{2}+y^{2}+3z^{2}},\dfrac{6z}{x^{2}+y^{2}+3z^{2}}\big). A matriz Jacobiana de \varphi é
D\varphi(u,v)= \begin{pmatrix} -\operatorname{sen}(u)\operatorname{sen}(v) & \cos(u)\cos(v)\\[4pt] \cos(u)\operatorname{sen}(v) & \operatorname{sen}(u)\cos(v)\\[4pt] 0 & -\operatorname{sen}(v) \end{pmatrix}.
Multiplicando \nabla f(\varphi(u,v)) (como linha 1\times3) por D\varphi(u,v) ( 3\times2) obtém-se o vetor linha \big(\dfrac{\partial \tilde f}{\partial u},\dfrac{\partial \tilde f}{\partial v}\big). Fazendo as substituições (e lembrando que \cos^{2}u+\operatorname{sen}^{2}u=1) chega-se às mesmas expressões: primeira componente zero e segunda igual a \dfrac{-4\cos v\operatorname{sen} v}{1+2\cos^{2}v}, confirmando o cálculo direto.]

Resposta

\dfrac{\partial \tilde{f}}{\partial u}(u,v)=0,\quad \dfrac{\partial \tilde{f}}{\partial v}(u,v)=\dfrac{-4\cos(v)\operatorname{sen}(v)}{1+2\cos^{2}(v)}=\dfrac{-2\operatorname{sen}(2v)}{1+2\cos^{2}(v)}
Jacobian: \;D\tilde{f}(u,v)=\begin{pmatrix}0 & \dfrac{-4\cos(v)\operatorname{sen}(v)}{1+2\cos^{2}(v)}\end{pmatrix}

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