onde \mathbf{x}(t)=\begin{pmatrix}x_1(t)\\[4pt] x_2(t)\end{pmatrix}. A única pergunta é: encontre a solução geral desse sistema (ou seja, a família de todas as soluções \mathbf{x}(t) com constantes arbitrárias).
e procuramos \mathbf{x}(t) tal que \mathbf{x}'(t)=A\mathbf{x}(t).]
Passo 2
Método escolhido: procurar soluções do tipo exponencial \mathbf{x}(t)=\mathbf{v}\,e^{\lambda t}, com \mathbf{v}\in\mathbb{R}^2 não nulo e \lambda\in\mathbb{R}. Explicação didática: se substituirmos \mathbf{x}(t)=\mathbf{v}e^{\lambda t} em \mathbf{x}'=A\mathbf{x} obtemos
ou seja, \lambda e \mathbf{v} devem ser um autovalor e um autovetor de A. Para matrizes 2\times2 com dois autovetores linearmente independentes, a solução geral é combinação linear das soluções associadas a cada autovalor:
onde C_1 e C_2 são constantes reais arbitrárias. Explicação: cada termo é solução porque substituindo dá \mathbf{x}'=A\mathbf{x}, e pela linearidade da equação a combinação também é solução.]
Passo 8
Verificação rápida (para aquecer a confiança): calcule a derivada do primeiro termo
logo o termo satisfaz a equação com \lambda=-1. Mesma verificação para \mathbf{v}_2 com \lambda=-3 dá consistência. Isso confirma que a solução geral do passo anterior está correta.]
Passo 9
Para facilidade na prova ou para comparar componentes, escreva as componentes explicitamente: