Resolva o problema de valor inicial
\mathbf{x}^{\prime}=\left(\begin{array}{rr} -1 & -4 \\\\ 1 & -1 \end{array}\right) \mathbf{x}, \quad \mathbf{x}(0)=\binom{3}{1}

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial dado por
\mathbf{x}^{\prime}=\begin{pmatrix}-1 & -4 \\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix}\mathbf{x},\qquad \mathbf{x}(0)=\binom{3}{1}.
Informações fornecidas:
A=\begin{pmatrix}-1 & -4 \\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix},\qquad \mathbf{x}(0)=\binom{3}{1}.
O que se pede: encontrar a função \mathbf{x}(t) (vetor de duas componentes) que satisfaz a equação diferencial linear com a condição inicial dada.]

Passo 2

Como a matriz A é constante, uma abordagem direta é procurar as soluções do tipo \mathbf{x}(t)=e^{\lambda t}\mathbf{v}, com \lambda autovalor e \mathbf{v} autovetor de A. Se os autovalores forem complexos conjugados, usamos a solução complexa e extraímos as partes real e imaginária para obter duas soluções reais independentes. Essas duas soluções reais geram a solução geral real, onde aplicamos a condição inicial para determinar as constantes. Vou aplicar exatamente esse procedimento passo a passo.

Passo 3

Calcular os autovalores de A. O polinômio característico é
\det(A-\lambda I)=\det\begin{pmatrix}-1-\lambda & -4 \\[4pt] 1 & -1-\lambda\end{pmatrix}=(-1-\lambda)^2+4.
Portanto procuramos \lambda tal que
(-1-\lambda)^2+4=0.
Resolvendo,
(-1-\lambda)^2=-4\quad\Rightarrow\quad -1-\lambda=\pm 2i,
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\lambda=-1\pm 2i.]

Passo 4

Vamos tomar \lambda=-1+2i e achar um autovetor \mathbf{v} não nulo tal que (A-\lambda I)\mathbf{v}=\mathbf{0}. Temos
A-\lambda I=\begin{pmatrix}-1-(-1+2i) & -4 \\[4pt] 1 & -1-(-1+2i)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-2i & -4 \\[4pt] 1 & -2i\end{pmatrix}.
Se \mathbf{v}=\binom{v_1}{v_2}, a primeira equação é
-2i\,v_1-4\,v_2=0.
Dessa equação obtemos
v_1=\frac{-4}{-2i}v_2=\frac{4}{2i}v_2=\frac{2}{i}v_2= -2i\,v_2,
ou equivalentemente v_1=2i\,v_2 (corrigindo o sinal com a identidade 1/i=-i; o resultado prático é escolher v_1=2i v_2). Escolhendo v_2=1 para simplificar, um autovetor é
\mathbf{v}=\binom{2i}{1}.]

Passo 5

Uma solução complexa associada é
\mathbf{x}_c(t)=e^{\lambda t}\mathbf{v}=e^{(-1+2i)t}\binom{2i}{1}=e^{-t}e^{2i t}\binom{2i}{1}.
Escrevendo e^{2i t}=\cos(2t)+i\sin(2t) e multiplicando componente a componente:
\begin{aligned} \text{primeira componente:}&\quad 2i(\cos(2t)+i\sin(2t))=2i\cos(2t)-2\sin(2t),\\[4pt] \text{segunda componente:}&\quad \cos(2t)+i\sin(2t). \end{aligned}
Portanto
\mathbf{x}_c(t)=e^{-t}\binom{2i\cos(2t)-2\sin(2t)}{\cos(2t)+i\sin(2t)}.]

Passo 6

As partes real e imaginária de \mathbf{x}_c(t) são soluções reais linearly independentes. Extraindo-as:
\Re(\mathbf{x}_c(t))=e^{-t}\binom{-2\sin(2t)}{\cos(2t)}, \qquad \Im(\mathbf{x}_c(t))=e^{-t}\binom{2\cos(2t)}{\sin(2t)}.
Chamemos
\mathbf{u}_1(t)=e^{-t}\binom{-2\sin(2t)}{\cos(2t)},\qquad \mathbf{u}_2(t)=e^{-t}\binom{2\cos(2t)}{\sin(2t)}.
A solução geral real é
\mathbf{x}(t)=C_1\mathbf{u}_1(t)+C_2\mathbf{u}_2(t),
onde C_1,C_2 são constantes reais a determinar pela condição inicial.

Passo 7

Aplicar a condição inicial \mathbf{x}(0)=\binom{3}{1}. Primeiro avaliamo as soluções na origem:
\mathbf{u}_1(0)=e^0\binom{-2\sin 0}{\cos 0}=\binom{0}{1}, \qquad \mathbf{u}_2(0)=e^0\binom{2\cos 0}{\sin 0}=\binom{2}{0}.
Portanto
C_1\binom{0}{1}+C_2\binom{2}{0}=\binom{3}{1}.
Isso dá o sistema linear para C_1,C_2:
2C_2=3,\qquad C_1=1.
Logo
C_1=1,\qquad C_2=\tfrac{3}{2}.

Passo 8

Substituindo C_1 e C_2 na solução geral:
\mathbf{x}(t)=\mathbf{u}_1(t)+\tfrac{3}{2}\mathbf{u}_2(t) =e^{-t}\left[\binom{-2\sin(2t)}{\cos(2t)}+\tfrac{3}{2}\binom{2\cos(2t)}{\sin(2t)}\right].
Fazendo as somas componente a componente:
\begin{aligned} \text{primeira componente:}&\quad e^{-t}\big(-2\sin(2t)+\tfrac{3}{2}\cdot 2\cos(2t)\big) =e^{-t}\big(-2\sin(2t)+3\cos(2t)\big),\\[6pt] \text{segunda componente:}&\quad e^{-t}\big(\cos(2t)+\tfrac{3}{2}\sin(2t)\big). \end{aligned}
Portanto a solução explícita é
\mathbf{x}(t)=e^{-t}\binom{3\cos(2t)-2\sin(2t)}{\cos(2t)+\tfrac{3}{2}\sin(2t)}.]

Resposta

\mathbf{x}(t)=e^{-t}\begin{pmatrix}3\cos(2t)-2\sin(2t) \\[4pt] \cos(2t)+\dfrac{3}{2}\sin(2t)\end{pmatrix}]

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