- Seja
a matriz fundamental satisfazendo
. No texto, denotamos essa matriz também por
. Neste problema vamos mostrar que
tem, de fato, as propriedades algébricas principais associadas à função exponencial.
(a) Mostre que
, ou seja,
.
Sugestão: mostre que se
é fixo e
variável, então
e
satisfazem o problema de valor inicial
.
(a) Mostre que
Passo 1
O enunciado dá uma matriz fundamental
que satisfaz
onde
é uma matriz quadrada constante e
é a matriz identidade.
A pergunta é: mostrar que, para quaisquer e
,
A pergunta é: mostrar que, para quaisquer
O enunciado sugere fixar
e comparar as duas funções de
e
.
Passo 2
Vou definir duas funções de
(com
fixo):
A ideia é mostrar que ambas resolvem o mesmo problema de valor inicial do tipo
Passo 3
Calculo a derivada de
. Lembre que a regra do produto vale também para derivadas de produtos de matrizes (ela é feita entrada a entrada). Como
é uma matriz constante quando derivamos em relação a
, temos
Usando a equação satisfeita por
, isto é
, obtemos
Além disso, no tempo
,
Portanto
satisfaz o problema de valor inicial
Passo 4
Agora calculo a derivada de
. Pelo encadeamento de derivadas (regra da cadeia),
Usando
com
, segue
E no tempo
,
Logo
também satisfaz
Passo 5
Concluímos que
e
satisfazem o mesmo sistema linear de equações diferenciais com a mesma condição inicial. Para concluir que
para todo
usamos o teorema de unicidade para problemas de valor inicial em sistemas lineares.
Passo 6
Vou explicar rapidamente um argumento padrão para a unicidade (didático e curto): suponha que
satisfaz
Escolha alguma norma vetorial
e a norma correspondente para matrizes
. Então
Seja
. Então
é diferenciável quase em todo lugar e satisfaz
(em pontos de diferenciabilidade). Como
, a desigualdade de Gronwall (ou o argumento clássico multiplicando por
) implica
para todo
. Portanto
. Assim duas soluções com a mesma condição inicial só podem coincidir. Esse é o núcleo do teorema de unicidade para sistemas lineares.
Passo 7
Aplicando a unicidade ao par
e
, obtemos
para todos
e qualquer
fixo. Isso prova a propriedade desejada.