1. Seja \boldsymbol{\Phi}(t) a matriz fundamental satisfazendo \boldsymbol{\Phi}^{\prime}=\mathbf{A} \boldsymbol{\Phi}, \boldsymbol{\Phi}(0)=\mathbf{I}. No texto, denotamos essa matriz também por \exp (\mathbf{A} t). Neste problema vamos mostrar que \boldsymbol{\Phi} tem, de fato, as propriedades algébricas principais associadas à função exponencial.
    (a) Mostre que \boldsymbol{\Phi}(t) \boldsymbol{\Phi}(s)=\boldsymbol{\Phi}(t+s), ou seja, \exp (\mathbf{A} t) \exp (\mathbf{A} s)=\exp [\mathbf{A}(t+s)].
Sugestão: mostre que se s é fixo e t variável, então \boldsymbol{\Phi}(t) \boldsymbol{\Phi}(s) e \boldsymbol{\Phi}(t+s) satisfazem o problema de valor inicial \mathbf{Z}^{\prime}=\mathbf{A Z}, \mathbf{Z}(0)=\boldsymbol{\Phi}(s).

Passo 1

O enunciado dá uma matriz fundamental \boldsymbol{\Phi}(t) que satisfaz
\boldsymbol{\Phi}'(t)=\mathbf{A}\,\boldsymbol{\Phi}(t),\qquad \boldsymbol{\Phi}(0)=\mathbf{I},
onde \mathbf{A} é uma matriz quadrada constante e \mathbf{I} é a matriz identidade.
A pergunta é: mostrar que, para quaisquer t e s,
\boldsymbol{\Phi}(t)\,\boldsymbol{\Phi}(s)=\boldsymbol{\Phi}(t+s).
O enunciado sugere fixar s e comparar as duas funções de t \boldsymbol{\Phi}(t)\boldsymbol{\Phi}(s) e \boldsymbol{\Phi}(t+s).

Passo 2

Vou definir duas funções de t (com s fixo):
\mathbf{Z}_1(t):=\boldsymbol{\Phi}(t)\,\boldsymbol{\Phi}(s), \qquad \mathbf{Z}_2(t):=\boldsymbol{\Phi}(t+s).
A ideia é mostrar que ambas resolvem o mesmo problema de valor inicial do tipo
\mathbf{Z}'(t)=\mathbf{A}\,\mathbf{Z}(t),\qquad \mathbf{Z}(0)=\boldsymbol{\Phi}(s).

Passo 3

Calculo a derivada de \mathbf{Z}_1(t). Lembre que a regra do produto vale também para derivadas de produtos de matrizes (ela é feita entrada a entrada). Como \boldsymbol{\Phi}(s) é uma matriz constante quando derivamos em relação a t, temos
\mathbf{Z}_1'(t)=\boldsymbol{\Phi}'(t)\,\boldsymbol{\Phi}(s).
Usando a equação satisfeita por \boldsymbol{\Phi}, isto é \boldsymbol{\Phi}'(t)=\mathbf{A}\,\boldsymbol{\Phi}(t), obtemos
\mathbf{Z}_1'(t)=\mathbf{A}\,\boldsymbol{\Phi}(t)\,\boldsymbol{\Phi}(s)=\mathbf{A}\,\mathbf{Z}_1(t).
Além disso, no tempo t=0,
\mathbf{Z}_1(0)=\boldsymbol{\Phi}(0)\,\boldsymbol{\Phi}(s)=\mathbf{I}\,\boldsymbol{\Phi}(s)=\boldsymbol{\Phi}(s).
Portanto \mathbf{Z}_1 satisfaz o problema de valor inicial
\mathbf{Z}'=\mathbf{A}\mathbf{Z},\qquad \mathbf{Z}(0)=\boldsymbol{\Phi}(s).

Passo 4

Agora calculo a derivada de \mathbf{Z}_2(t)=\boldsymbol{\Phi}(t+s). Pelo encadeamento de derivadas (regra da cadeia),
\mathbf{Z}_2'(t)=\frac{d}{dt}\boldsymbol{\Phi}(t+s)=\boldsymbol{\Phi}'(t+s).
Usando \boldsymbol{\Phi}'(u)=\mathbf{A}\,\boldsymbol{\Phi}(u) com u=t+s, segue
\mathbf{Z}_2'(t)=\mathbf{A}\,\boldsymbol{\Phi}(t+s)=\mathbf{A}\,\mathbf{Z}_2(t).
E no tempo t=0,
\mathbf{Z}_2(0)=\boldsymbol{\Phi}(0+s)=\boldsymbol{\Phi}(s).
Logo \mathbf{Z}_2 também satisfaz
\mathbf{Z}'=\mathbf{A}\mathbf{Z},\qquad \mathbf{Z}(0)=\boldsymbol{\Phi}(s).

Passo 5

Concluímos que \mathbf{Z}_1 e \mathbf{Z}_2 satisfazem o mesmo sistema linear de equações diferenciais com a mesma condição inicial. Para concluir que \mathbf{Z}_1(t)=\mathbf{Z}_2(t) para todo t usamos o teorema de unicidade para problemas de valor inicial em sistemas lineares.

Passo 6

Vou explicar rapidamente um argumento padrão para a unicidade (didático e curto): suponha que \mathbf{Y}(t) satisfaz
\mathbf{Y}'(t)=\mathbf{A}\,\mathbf{Y}(t),\qquad \mathbf{Y}(0)=\mathbf{0}.
Escolha alguma norma vetorial \|\cdot\| e a norma correspondente para matrizes \|\mathbf{A}\|. Então
\|\mathbf{Y}'(t)\|=\|\mathbf{A}\mathbf{Y}(t)\|\le \|\mathbf{A}\|\,\|\mathbf{Y}(t)\|.
Seja f(t):=\|\mathbf{Y}(t)\|. Então f é diferenciável quase em todo lugar e satisfaz f'(t)\le \|\mathbf{A}\|\,f(t) (em pontos de diferenciabilidade). Como f(0)=0, a desigualdade de Gronwall (ou o argumento clássico multiplicando por e^{-\|\mathbf{A}\| t}) implica f(t)=0 para todo t. Portanto \mathbf{Y}(t)\equiv\mathbf{0}. Assim duas soluções com a mesma condição inicial só podem coincidir. Esse é o núcleo do teorema de unicidade para sistemas lineares.

Passo 7

Aplicando a unicidade ao par \mathbf{Z}_1 e \mathbf{Z}_2, obtemos
\boldsymbol{\Phi}(t)\,\boldsymbol{\Phi}(s)=\mathbf{Z}_1(t)=\mathbf{Z}_2(t)=\boldsymbol{\Phi}(t+s)
para todos t e qualquer s fixo. Isso prova a propriedade desejada.

Resposta

\boldsymbol{\Phi}(t)\,\boldsymbol{\Phi}(s)=\boldsymbol{\Phi}(t+s)

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