1. ( \mathbf{2 , 5} pts) A luz branca apresenta, após ser refletida por um filme fino sob incidència normal, minimos de interferència nos comprimentos de onda 300 nm e 600 nm , sem outro minimo entre eles. Supondo uma película uniforme com índice de refração 1,5 , calcule a espessura do filme.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede a espessura do filme:
  • Há uma película fina cuja índice de refração é \,n=1,5\,.
  • Incidência é normal.
  • Após reflexão da luz branca, aparecem mínimos de interferência nos comprimentos de onda \,300\\ \mathrm{nm}\, e \,600\\ \mathrm{nm}\,.
  • Não existe nenhum outro mínimo entre \,300\\ \mathrm{nm}\, e \,600\\ \mathrm{nm}\,.
  • Pergunta: calcular a espessura t da película.

Passo 2

Vamos entender qualitativamente o que acontece (passo didático): a luz que atinge a película produz duas ondas refletidas que se combinam — uma refletida na face superior (ar → filme) e outra refletida na face inferior (filme → ar). Essas duas ondas chegam com diferença de fase devido a:
  1. Diferença de percurso óptico dentro do filme, que vale \,2nt\, em comprimento de onda dentro do ar equivalente.
  2. Possíveis inversões de fase no momento da reflexão. Ao refletir de um meio de índice menor para maior (ar \to filme) ocorre uma inversão de fase de \pi. Ao refletir de um meio de índice maior para menor (filme \to ar) não há inversão. Logo, aqui há exatamente uma inversão de fase ( \pi).

Passo 3

Agora escrevemos a diferença de fase total entre as duas ondas refletidas. A contribuição do percurso corresponde a uma fase
\Delta\phi_{\text{percurso}} = \frac{2\pi}{\lambda}\cdot(2 n t) = \frac{4\pi n t}{\lambda},
onde \,\lambda\, é o comprimento de onda no ar (o mesmo dado no enunciado). A contribuição da reflexão (inversão única) é \pi. Portanto a diferença de fase total é
\Delta\phi_{\text{total}}=\frac{4\pi n t}{\lambda}+\pi.

Passo 4

Condição para aparecer um mínimo (interferência destrutiva) na luz refletida: a diferença de fase total deve ser um múltiplo ímpar de \pi, isto é
\Delta\phi_{\text{total}}=(2m+1)\pi,\qquad m=0,1,2,\dots
Substituindo a expressão de \Delta\phi_{\text{total}} obtemos
\frac{4\pi n t}{\lambda}+\pi=(2m+1)\pi.
Dividindo por \pi e isolando, chega-se à forma prática
\frac{4 n t}{\lambda}+1=2m+1 \quad\Rightarrow\quad \frac{4 n t}{\lambda}=2m \quad\Rightarrow\quad 2 n t = m\lambda.
Portanto a condição de mínimos é
\boxed{\,2 n t = m\lambda\,,\quad m\in\mathbb{Z}_{\ge0}\,}
Aqui m é a ordem do mínimo (um inteiro).

Passo 5

Das relações acima segue que os comprimentos de onda que produzem mínimos são
\lambda_m=\frac{2 n t}{m}.
Como no enunciado temos dois mínimos em \,600\\ \mathrm{nm}\, e \,300\\ \mathrm{nm}\, e não existe outro mínimo entre eles, esses dois comprimentos de onda correspondem a ordens consecutivas m e m+1. Então, se \lambda_k=600\\ \mathrm{nm} e \lambda_{k+1}=300\\ \mathrm{nm}, temos
\frac{\lambda_k}{\lambda_{k+1}}=\frac{\dfrac{2 n t}{k}}{\dfrac{2 n t}{k+1}}=\frac{k+1}{k}.
Substituindo os valores dados:
\frac{600}{300}=2=\frac{k+1}{k}\quad\Rightarrow\quad k+1=2k\quad\Rightarrow\quad k=1.
Logo os mínimos são de ordem m=1 para \,600\\ \mathrm{nm}\, e m=2 para \,300\\ \mathrm{nm}.

Passo 6

Agora calculamos a espessura usando a fórmula dos mínimos com m=1 e \lambda=600\\ \mathrm{nm}:
2 n t = m\lambda \quad\Rightarrow\quad t=\frac{m\lambda}{2n}.
Substituindo \,m=1, \,\lambda=600\\ \mathrm{nm}\, e \,n=1,5\,:
t=\frac{1\cdot 600\\ \mathrm{nm}}{2\cdot 1,5}=\frac{600\\ \mathrm{nm}}{3}=200\\ \mathrm{nm}.

Passo 7

Checagem rápida com o outro mínimo ( m=2,\\ \lambda=300\\ \mathrm{nm}):
t=\frac{2\cdot 300\\ \mathrm{nm}}{2\cdot 1,5}=\frac{600\\ \mathrm{nm}}{3}=200\\ \mathrm{nm},
confirma que está consistente.

Resposta

200 nm

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