com condições de contorno homogêneas de Dirichlet nas extremidades
T(0,t)=0,\qquad T(L,t)=0\quad\text{para }t\ge 0,
e condição inicial
T(x,0)=f(x)\quad\text{para }0\le x\le L,
onde o enunciado nos fornece apenas o valor f\!\left(\dfrac{L}{2}\right)=1. Isso significa que a forma completa de f(x) não foi especificada; portanto a solução geral será dada em termos da série de senos com coeficientes obtidos a partir de f(x). Se o professor tivesse querido uma condição inicial especial (por exemplo um delta em x=L/2), isso deve ser indicado; com a informação dada, apresentarei a solução geral e mostrarei como os coeficientes se obtêm. Vamos em frente.]
Passo 2
Método escolhido: separação de variáveis + expansão em série de senos (método clássico para contorno homogêneo de Dirichlet). Vou procurar soluções da forma
T(x,t)=X(x)\,G(t).
Substituindo na equação de calor:
X(x)\,G'(t)=k\,X''(x)\,G(t).
Dividindo por kX(x)G(t) (assumindo produto não nulo):
\frac{G'(t)}{kG(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}=-\lambda,
onde \lambda é a constante de separação (escolhi o sinal menos por ser o caso que dá soluções em senos para as condições de Dirichlet).
Passo 3
Agora trato a equação espacial (autovalores). A equação para X é
X''(x)+\lambda X(x)=0,
com as condições de contorno
X(0)=0,\qquad X(L)=0.
Procuramos valores de \lambda que admitam soluções não-triviais.
Se \lambda=0: então X''=0\RightarrowX(x)=Ax+B. As condições X(0)=0 e X(L)=0 implicam B=0 e A L=0, logo A=0. Apenas solução trivial, descartada.
Se \lambda<0: escreva \lambda=-\mu^{2} com \mu>0. Então X é combinação de exponenciais; as condições homogêneas levam de novo à solução trivial. Descartado.
Se \lambda>0: escreva \lambda=\omega^{2}. Solução geral X(x)=C\cos(\omega x)+D\sin(\omega x). Da condição X(0)=0 obtemos C=0. Da condição X(L)=0 obtemos D\sin(\omega L)=0. Para solução não-trivial precisamos \sin(\omega L)=0, isto é \omega L=n\pi com n\in\mathbb{N}. Assim
Estas funções são ortogonais no intervalo [0,L] com produto escalar \int_{0}^{L}\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\sin\!\left(\frac{m\pi x}{L}\right)\,dx=0 quando n\neq m e igual a L/2 quando n=m.
Passo 4
Equação temporal correspondente para cada autovalor \lambda_{n}:
Observação importante sobre o dado f\!\left(\dfrac{L}{2}\right)=1: com apenas o valor de f em um ponto não é possível recuperar todos os coeficientes A_{n}. O valor em x=\dfrac{L}{2} dá apenas a condição
que é uma restrição linear sobre os A_{n}, mas não determina unicamente a função f(x). Se, por outro lado, a intenção tivesse sido a condição inicial igual a uma delta em x=L/2 (ou seja f(x)=\delta(x-\tfrac{L}{2})), então os coeficientes seriam A_{n}=\dfrac{2}{L}\sin\!\left(\dfrac{n\pi}{2}\right) e teríamos a solução explícita para esse caso especial.
Passo 6
Juntando tudo, a solução geral do problema de calor com contorno T(0,t)=T(L,t)=0 e condição inicial T(x,0)=f(x) é a série de Fourier em senos com decaimento exponencial temporal nos modos. Escrevo-a explicitamente e repito a fórmula dos coeficientes para clareza:
Se o enunciado queria um caso especial (por exemplo f(x)=\delta(x-\tfrac{L}{2})), substitua A_{n}=\dfrac{2}{L}\sin\!\left(\dfrac{n\pi}{2}\right) na expressão acima.