O que se pede: encontrar a função y(x), definida para x>0, que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.]
Passo 2
Observação sobre o tipo de equação e o método a usar (passo pedagógico e prático).
A equação é linear de primeira ordem, que tem a forma geral
\frac{dy}{dx}+p(x)\,y=q(x).
Aqui identificamos
p(x)=-\frac{1}{x},\qquad q(x)=x^{2}e^{x}.
Método: usar o fator integrante \mu(x)=\exp\!\big(\int p(x)\,dx\big). Explico por que: multiplicando a equação por \mu(x) transformamos o lado esquerdo numa derivada do produto \mu(x)y(x), o que permite integrar facilmente. Isso é a técnica padrão para resolver equações lineares de 1ª ordem.
onde C é a constante de integração. Agora calculamos a integral \int x e^{x}\,dx. Usamos integração por partes: escolha u=x e dv=e^{x}dx. Então du=dx e v=e^{x}. A fórmula de integração por partes é \int u\,dv = u v - \int v\,du. Aplicando:
\int x e^{x}\,dx = x e^{x} - \int e^{x}\,dx = x e^{x} - e^{x} + C = e^{x}(x-1) + C.
Portanto
x^{-1}y = e^{x}(x-1) + C.
Passo 6
Isolar y multiplicando por x:
y = x\big(e^{x}(x-1)+C\big) = x^{2}e^{x} - x e^{x} + C x.
Agora aplicamos a condição inicial y(1)=2. Substituindo x=1:
y(1)=1^{2}e^{1}-1\cdot e^{1}+C\cdot 1 = e-e + C = C.
Como y(1)=2, segue C=2.
Passo 7
Substituir C=2 na expressão geral de y. Assim a solução do PVI é
y(x)=x^{2}e^{x}-x e^{x}+2x,\qquad x>0.
(Fácil checar: derivando essa função e substituindo na equação original obtém-se igualdade, e y(1)=2 está satisfeita.)