(\mathbf{2 , 0} pts) Resolva os seguintes PVI’s:
\left{ \begin{array}{l}\frac{d y}{d x}-\frac{y}{x}=x^{2} e^{x}, x>0 \\ y(1)=2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI)
\begin{cases} \displaystyle \frac{dy}{dx}-\frac{y}{x}=x^{2}e^{x},\quad x>0,\\[6pt] y(1)=2. \end{cases}
O que se pede: encontrar a função y(x), definida para x>0, que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.]

Passo 2

Observação sobre o tipo de equação e o método a usar (passo pedagógico e prático).
A equação é linear de primeira ordem, que tem a forma geral
\frac{dy}{dx}+p(x)\,y=q(x).
Aqui identificamos
p(x)=-\frac{1}{x},\qquad q(x)=x^{2}e^{x}.
Método: usar o fator integrante \mu(x)=\exp\!\big(\int p(x)\,dx\big). Explico por que: multiplicando a equação por \mu(x) transformamos o lado esquerdo numa derivada do produto \mu(x)y(x), o que permite integrar facilmente. Isso é a técnica padrão para resolver equações lineares de 1ª ordem.

Passo 3

Calcular o fator integrante \mu(x).
\mu(x)=\exp\!\left(\int p(x)\,dx\right)=\exp\!\left(\int -\frac{1}{x}\,dx\right)=\exp(-\ln x)=x^{-1},
válido para x>0 (por isso o domínio do problema é importante). Aqui cada passo: \int -1/x\,dx=-\ln x, e \exp(-\ln x)=x^{-1}.

Passo 4

Multiplicar a equação original por \mu(x)=x^{-1}. Fazendo isso obtemos
x^{-1}\frac{dy}{dx}-x^{-2}y = x e^{x}.
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto \mu(x)y(x)=x^{-1}y(x), porque
\frac{d}{dx}\big(x^{-1}y\big)=x^{-1}\frac{dy}{dx}+(-x^{-2})y = x^{-1}\frac{dy}{dx}-x^{-2}y.
Portanto podemos escrever a equação como
\frac{d}{dx}\big(x^{-1}y\big)=x e^{x}.

Passo 5

Integrar ambos os lados em relação a x:
x^{-1}y=\int x e^{x}\,dx + C,
onde C é a constante de integração. Agora calculamos a integral \int x e^{x}\,dx. Usamos integração por partes: escolha u=x e dv=e^{x}dx. Então du=dx e v=e^{x}. A fórmula de integração por partes é \int u\,dv = u v - \int v\,du. Aplicando:
\int x e^{x}\,dx = x e^{x} - \int e^{x}\,dx = x e^{x} - e^{x} + C = e^{x}(x-1) + C.
Portanto
x^{-1}y = e^{x}(x-1) + C.

Passo 6

Isolar y multiplicando por x:
y = x\big(e^{x}(x-1)+C\big) = x^{2}e^{x} - x e^{x} + C x.
Agora aplicamos a condição inicial y(1)=2. Substituindo x=1:
y(1)=1^{2}e^{1}-1\cdot e^{1}+C\cdot 1 = e-e + C = C.
Como y(1)=2, segue C=2.

Passo 7

Substituir C=2 na expressão geral de y. Assim a solução do PVI é
y(x)=x^{2}e^{x}-x e^{x}+2x,\qquad x>0.
(Fácil checar: derivando essa função e substituindo na equação original obtém-se igualdade, e y(1)=2 está satisfeita.)

Resposta

y(x)=x^{2}e^{x}-x e^{x}+2x

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