(3,0 pts) Encontre a solução geral da seguinte EDO
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial ordinária de segunda ordem
Informações dadas e o que se pede:
- A equação é linear, de ordem
, com coeficientes constantes. - O termo do lado direito (forçante) é a soma de
e de um polinômio de grau (ou seja, ). - Deve-se encontrar a solução geral
, que inclui constantes arbitrárias (dois parâmetros, pois a EDO é de segunda ordem).
Passo 2
Estrutura da solução (ideia principal; explicação curta): para uma EDO linear não homogênea como esta, a solução geral é soma da solução geral da equação homogênea associada e de uma solução particular de a equação completa. Ou seja,
onde
é a solução geral da homogênea
e
é qualquer solução particular de
.
Passo 3
Resolver a homogênea:
Montamos a equação característica associada substituindo :
Montamos a equação característica associada substituindo
Resolvendo essa quadrática (por fatoração ou fórmula de Bhaskara):
logo as raízes são
e
, distintas e reais. Portanto a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 4
Escolha de um palpite para a solução particular (método dos coeficientes indeterminados) e tratamento do termo
:
- Para uma forçante do tipo
tenta-se , salvo se já for solução da homogênea (aí multiplicaria por ). Aqui e não aparece em , então tentamos
com
a constante a determinar.
Calcule derivadas:
Calcule derivadas:
Substituindo na equação diferencial (lado esquerdo):
Queremos que isso compense o termo
, então
Portanto
Passo 5
Palpite para a parte polinomial
:
- Para uma forçante polinomial de grau
tenta-se um polinômio de grau com coeficientes indeterminados. Aqui o termo é (grau ), então tentamos
com
a determinar.
Calcule derivadas:
Calcule derivadas:
Substituindo na equação (lado esquerdo) para obter a correspondência com
:
Esse deve ser igual ao termo polinomial do lado direito, que é
. Igualando coeficientes de potências de
:
- Coeficiente de
: - Termo constante:
. Substituindo :
Logo
Passo 6
Construção da solução particular completa e solução geral:
A solução particular total é a soma das duas partes que tratamos (pois a equação é linear e a forçante é soma):
A solução particular total é a soma das duas partes que tratamos (pois a equação é linear e a forçante é soma):
Portanto a solução geral da equação é
com
constantes arbitrárias.