(3,0 pts) Encontre a solução geral da seguinte EDO
y^{\prime \prime}-y^{\prime}-6 y=10 e^{x}+2 x .

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial ordinária de segunda ordem
y''-y'-6y=10e^{x}+2x.
Informações dadas e o que se pede:
  • A equação é linear, de ordem 2, com coeficientes constantes.
  • O termo do lado direito (forçante) é a soma de 10e^{x} e de um polinômio de grau 1 (ou seja, 2x).
  • Deve-se encontrar a solução geral y(x), que inclui constantes arbitrárias (dois parâmetros, pois a EDO é de segunda ordem).

Passo 2

Estrutura da solução (ideia principal; explicação curta): para uma EDO linear não homogênea como esta, a solução geral é soma da solução geral da equação homogênea associada e de uma solução particular de a equação completa. Ou seja,
y(x)=y_c(x)+y_p(x),
onde y_c é a solução geral da homogênea y''-y'-6y=0 e y_p é qualquer solução particular de y''-y'-6y=10e^{x}+2x.

Passo 3

Resolver a homogênea:
Montamos a equação característica associada substituindo y\mapsto e^{rx}:
r^{2}-r-6=0.
Resolvendo essa quadrática (por fatoração ou fórmula de Bhaskara):
r^{2}-r-6=(r-3)(r+2)=0,
logo as raízes são r=3 e r=-2, distintas e reais. Portanto a solução geral da homogênea é
y_c(x)=C_{1}e^{3x}+C_{2}e^{-2x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 4

Escolha de um palpite para a solução particular (método dos coeficientes indeterminados) e tratamento do termo 10e^{x}:
  • Para uma forçante do tipo Ae^{\alpha x} tenta-se y_{p1}=A_{1}e^{\alpha x}, salvo se e^{\alpha x} já for solução da homogênea (aí multiplicaria por x). Aqui \alpha=1 e e^{x} não aparece em y_c, então tentamos
y_{p1}(x)=a e^{x},
com a a constante a determinar.
Calcule derivadas:
y_{p1}'(x)=a e^{x},\qquad y_{p1}''(x)=a e^{x}.
Substituindo na equação diferencial (lado esquerdo):
y_{p1}''-y_{p1}'-6y_{p1}=a e^{x}-a e^{x}-6a e^{x}=-6a e^{x}.
Queremos que isso compense o termo 10e^{x}, então
-6a e^{x}=10 e^{x}\quad\Rightarrow\quad -6a=10\quad\Rightarrow\quad a=-\dfrac{10}{6}=-\dfrac{5}{3}.
Portanto
y_{p1}(x)=-\dfrac{5}{3}e^{x}.

Passo 5

Palpite para a parte polinomial 2x:
  • Para uma forçante polinomial de grau n tenta-se um polinômio de grau n com coeficientes indeterminados. Aqui o termo é 2x (grau 1), então tentamos
y_{p2}(x)=bx+c,
com b,c a determinar.
Calcule derivadas:
y_{p2}'(x)=b,\qquad y_{p2}''(x)=0.
Substituindo na equação (lado esquerdo) para obter a correspondência com 2x:
y_{p2}''-y_{p2}'-6y_{p2}=0-b-6(bx+c)=-6b x +(-b-6c).
Esse deve ser igual ao termo polinomial do lado direito, que é 2x. Igualando coeficientes de potências de x:
  • Coeficiente de x: -6b=2 \Rightarrow b=-\dfrac{2}{6}=-\dfrac{1}{3}.
  • Termo constante: -b-6c=0. Substituindo b=-\dfrac{1}{3}:
-(-\tfrac{1}{3})-6c=0\quad\Rightarrow\quad \tfrac{1}{3}-6c=0\quad\Rightarrow\quad c=\tfrac{1}{18}.
Logo
y_{p2}(x)=-\dfrac{1}{3}x+\dfrac{1}{18}.

Passo 6

Construção da solução particular completa e solução geral:
A solução particular total é a soma das duas partes que tratamos (pois a equação é linear e a forçante é soma):
y_{p}(x)=y_{p1}(x)+y_{p2}(x)=-\dfrac{5}{3}e^{x}-\dfrac{1}{3}x+\dfrac{1}{18}.
Portanto a solução geral da equação é
y(x)=y_c(x)+y_p(x)=C_{1}e^{3x}+C_{2}e^{-2x}-\dfrac{5}{3}e^{x}-\dfrac{1}{3}x+\dfrac{1}{18},
com C_{1},C_{2} constantes arbitrárias.

Resposta

y(x)=C_{1}e^{3x}+C_{2}e^{-2x}-\dfrac{5}{3}e^{x}-\dfrac{1}{3}x+\dfrac{1}{18}

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